calcule o volume do sólido limitado por
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície
, pelas faces verticais definidas por
e
, e pelo plano
(que é
).
Informações dadas:
- A superfície superior é
. - O plano inferior é
. - As projeções no plano
formam a região retangular
O que se pede:
- Calcular o volume do sólido que fica entre
(por cima) e (por baixo), sobre a região .
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (intuição passo a passo): o volume abaixo de uma superfície
e acima do plano
sobre uma região
no plano
é dado pela integral dupla
Aqui
e
representa um elemento de área no plano
. A integral soma (no sentido de Riemann) as pequenas colunas de altura
e base
sobre toda a região
, resultando no volume total.
Passo 3
Como
é um retângulo com
e
, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada (ordem
, por exemplo):
Observe que
não depende de
, então é constante em relação à integração em
.
Passo 4
Avaliaremos primeiro a integral interna em
:
Explicação: ao integrar em
uma função que não depende de
, ela sai da integral como constante e resta apenas integrar
no intervalo
, que dá
.
Passo 5
Agora integramos em
:
Precisamos da primitiva de
. Lembrando que a derivada de
é
, concluímos que uma primitiva de
é
. Portanto
Calculando os cossenos:
e
. Assim
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio útil para a prova: quando a superfície não depende de uma das variáveis (aqui não depende de
), a integral em relação a essa variável só contribui com o comprimento do intervalo; depois basta integrar a função restante na outra variável. Para integrar
, memorize que
.