calcule o volume do sólido limitado por z=\operatorname{sen} y, 0 \leq y \leq \pi / 2,0 \leq x \leq 1 e o plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície z=\operatorname{sen} y, pelas faces verticais definidas por 0\le x\le 1 e 0\le y\le \dfrac{\pi}{2}, e pelo plano x y (que é z=0).
Informações dadas:
  • A superfície superior é z=\operatorname{sen} y.
  • O plano inferior é z=0.
  • As projeções no plano xy formam a região retangular
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le \tfrac{\pi}{2}\}.
O que se pede:
  • Calcular o volume do sólido que fica entre z=\operatorname{sen} y (por cima) e z=0 (por baixo), sobre a região R.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (intuição passo a passo): o volume abaixo de uma superfície z=f(x,y) e acima do plano z=0 sobre uma região R no plano xy é dado pela integral dupla
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=\operatorname{sen} y e dA representa um elemento de área no plano xy. A integral soma (no sentido de Riemann) as pequenas colunas de altura f(x,y) e base dA sobre toda a região R, resultando no volume total.

Passo 3

Como R é um retângulo com 0\le x\le 1 e 0\le y\le \tfrac{\pi}{2}, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada (ordem dx\,dy, por exemplo):
V=\int_{y=0}^{\pi/2}\!\int_{x=0}^{1} \operatorname{sen} y \;dx\,dy.
Observe que \operatorname{sen} y não depende de x, então é constante em relação à integração em x.

Passo 4

Avaliaremos primeiro a integral interna em x:
\int_{x=0}^{1} \operatorname{sen} y \;dx = \operatorname{sen} y \int_{x=0}^{1} dx = \operatorname{sen} y \cdot (1-0)=\operatorname{sen} y.
Explicação: ao integrar em x uma função que não depende de x, ela sai da integral como constante e resta apenas integrar dx no intervalo [0,1], que dá 1.

Passo 5

Agora integramos em y:
V=\int_{y=0}^{\pi/2} \operatorname{sen} y \;dy.
Precisamos da primitiva de \operatorname{sen} y. Lembrando que a derivada de \cos y é -\operatorname{sen} y, concluímos que uma primitiva de \operatorname{sen} y é -\cos y. Portanto
V=\big[-\cos y\big]_{0}^{\pi/2} = \big(-\cos\tfrac{\pi}{2}\big) - \big(-\cos 0\big).
Calculando os cossenos: \cos\tfrac{\pi}{2}=0 e \cos 0=1. Assim
V = -0 -(-1)=1.

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio útil para a prova: quando a superfície não depende de uma das variáveis (aqui não depende de x), a integral em relação a essa variável só contribui com o comprimento do intervalo; depois basta integrar a função restante na outra variável. Para integrar \operatorname{sen} y, memorize que \int \operatorname{sen} y\,dy = -\cos y + C.

Resposta

1

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