Calcule o volume do sólido limitado pela superfície x^2+y^2=1, com y >= 0, e pelos planos y=0, z=-1 e y+z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido limitado pela superfície x^2 + y^2 = 1 (que é um cilindro circular), com y >= 0, e pelos planos y = 0, z = -1 e y + z = 1. Para isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especialmente coordenadas cilíndricas, porque o cilindro facilita nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos lidando com um cilindro x^2 + y^2 = 1 e y >= 0, isso significa que estamos considerando apenas a metade do cilindro onde y é positivo ou zero. Em coordenadas cilíndricas, x = r costheta, y = r sintheta, e r vai de 0 a 1 (raio do cilindro), theta vai de 0 a pi (já que y >= 0).

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites em z. Os planos que limitam z são z = -1 e y + z = 1. Podemos resolver a segunda equação para z: z = 1 - y. Em coordenadas cilíndricas, isso fica z = 1 - r sintheta. Então, z varia de -1 até 1 - r sintheta.

Passo 4

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é r , dz , dr , dtheta. Então, a integral fica:
V = integral0^pi integral0^1 integral-1^1 - r sintheta r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em z primeiro. Integrando r em relação a z:
integral-1^1 - r sintheta r , dz = r [ z ]-1^1 - r sintheta = r ( (1 - r sintheta) - (-1) ) = r (2 - r sintheta)

Passo 6

Agora, nossa integral reduzida é:
V = integral0^pi integral0^1 (2r - r^2 sintheta) , dr , dtheta
Vamos integrar em r:
integral0^1 (2r - r^2 sintheta) , dr = [ r^2 - r^33 sintheta ]0^1 = 1 - 13 sintheta

Passo 7

Agora, a última integral fica:
V = integral0^pi (1 - 13 sintheta ) dtheta = integral0^pi 1 , dtheta - 13 integral0^pi sintheta , dtheta
Integrando termo a termo:
integral0^pi 1 , dtheta = pi
integral0^pi sintheta , dtheta = 2
Então,
V = pi - 13 times 2 = pi - 23

Resposta

O volume do sólido é $ \pi - \dfrac{2}{3} $ unidades cúbicas.

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