Calcule o volume do sólido limitado pela superfície
, com
, e pelos planos
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido limitado pela superfície
(que é um cilindro circular), com
, e pelos planos
,
e
. Para isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especialmente coordenadas cilíndricas, porque o cilindro facilita nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos lidando com um cilindro
e
, isso significa que estamos considerando apenas a metade do cilindro onde
é positivo ou zero. Em coordenadas cilíndricas,
,
, e
vai de 0 a 1 (raio do cilindro),
vai de 0 a
(já que
).
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites em
. Os planos que limitam
são
e
. Podemos resolver a segunda equação para
:
. Em coordenadas cilíndricas, isso fica
. Então,
varia de
até
.
Passo 4
Vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral em
primeiro. Integrando
em relação a
:
Passo 6
Agora, nossa integral reduzida é:
Vamos integrar em
:
Passo 7
Agora, a última integral fica:
Integrando termo a termo:
Então,
Resposta
O volume do sólido é $ \pi - \dfrac{2}{3} $ unidades cúbicas.