Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.
f(x, y)=3 x+2 y-4

Passo 1

Temos a função f(x,y)=3x+2y-4. O objetivo é mostrar que ela é harmônica, ou seja, que satisfaz a equação de Laplace partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0. Para isso, vamos calcular as segundas derivadas parciais de f.

Passo 2

Derivando f em relação a x duas vezes: primeiro partial fpartial x=3, depois partial^2 fpartial x^2=0. De modo análogo, em relação a y: partial fpartial y=2 e partial^2 fpartial y^2=0.

Passo 3

Somando as segundas derivadas parciais obtidas, temos
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0+0=0
Isso mostra que f satisfaz a equação de Laplace.

Passo 4

Portanto, concluímos que f(x,y)=3x+2y-4 é uma função harmônica.

Resposta

A função f(x,y)=3x+2y-4 satisfaz a equação de Laplace pois partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0.

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