Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.
Passo 1
Temos a função
. O objetivo é mostrar que ela é harmônica, ou seja, que satisfaz a equação de Laplace
. Para isso, vamos calcular as segundas derivadas parciais de
.
Passo 2
Derivando
em relação a
duas vezes: primeiro
, depois
. De modo análogo, em relação a
:
e
.
Passo 3
Somando as segundas derivadas parciais obtidas, temos
Isso mostra que
satisfaz a equação de Laplace.
Passo 4
Portanto, concluímos que
é uma função harmônica.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace pois
.