1^{\text {a }} Questão (30 pontos): Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=2 t \operatorname{sen} t+e^{-2 t} \cos 2 t-\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a Transformada de Laplace da função
f(t)=2t\operatorname{sen} t + e^{-2t}\cos 2t - \sqrt{2}.
Informações fornecidas (lista de termos que precisamos transformar):
  • o termo \;2t\operatorname{sen} t\;;
  • o termo \;e^{-2t}\cos 2t\;;
  • o termo constante \;-\sqrt{2}\;.

Passo 2

Recordando a definição e propriedades essenciais que usaremos:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (na prática, precisamos de \operatorname{Re}(s) suficientemente grande para convergência). A propriedade de linearidade permite escrever:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g\}(s),
ou seja, podemos calcular a transformada de cada termo separadamente e somar com seus coeficientes.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao nosso f(t), temos
\mathcal{L}\{f\}(s)=2\,\mathcal{L}\{t\operatorname{sen} t\}(s)+\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 2t\}(s)-\sqrt{2}\,\mathcal{L}\{1\}(s).
Agora vamos calcular cada uma dessas transformadas.

Passo 4

Cálculo de \mathcal{L}\{t\operatorname{sen} t\}(s). Usamos a propriedade que relaciona multiplicação por t com derivada em s:
\mathcal{L}\{t\,g(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}\big(\mathcal{L}\{g\}(s)\big).
Justificativa curta: se G(s)=\int_0^\infty e^{-st}g(t)\,dt, então G'(s)=\int_0^\infty -t e^{-st}g(t)\,dt=-\mathcal{L}\{t g(t)\}(s), daí a propriedade acima.

Passo 5

Primeiro obtemos \mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}(s). A fórmula padrão é
\mathcal{L}\{\operatorname{sen} a t\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
No caso a=1,
\mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
Usando a propriedade do passo anterior,
\mathcal{L}\{t\operatorname{sen} t\}(s) = -\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right).
Calculando a derivada passo a passo:
\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right)=\frac{d}{ds}\big((s^{2}+1)^{-1}\big)=-(s^{2}+1)^{-2}\cdot 2s=-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{t\operatorname{sen} t\}(s) = -\left(-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}\right)=\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Multiplicando pelo coeficiente 2 do termo original:
2\,\mathcal{L}\{t\operatorname{sen} t\}(s)=\frac{4s}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Cálculo de \mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 2t\}(s). Usamos a propriedade de deslocamento na variável s:
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s). Aqui a=-2 e g(t)=\cos 2t.
Primeiro G(s)=\mathcal{L}\{\cos 2t\}(s). A fórmula padrão é
\mathcal{L}\{\cos a t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Com a=2,
\mathcal{L}\{\cos 2t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.
Aplicando o deslocamento s\mapsto s+2 (porque a=-2, então s-a=s-(-2)=s+2):
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 2t\}(s)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+4}.
Podemos expandir o denominador se quisermos:
(s+2)^{2}+4 = s^{2}+4s+4+4 = s^{2}+4s+8,
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\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 2t\}(s)=\frac{s+2}{s^{2}+4s+8}.

Passo 7

Cálculo de \mathcal{L}\{-\sqrt{2}\}(s). Sabendo que \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s} para \operatorname{Re}(s)>0, temos
\mathcal{L}\{-\sqrt{2}\}(s)=-\sqrt{2}\,\mathcal{L}\{1\}(s)=-\frac{\sqrt{2}}{s}.

Passo 8

Juntando todas as contribuições (somando os resultados dos passos anteriores) obtemos a transformada da função f(t):
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{4s}{(s^{2}+1)^{2}}+\frac{s+2}{s^{2}+4s+8}-\frac{\sqrt{2}}{s}.
Observação sobre convergência: o termo constante pede \operatorname{Re}(s)>0; o termo com e^{-2t} exige \operatorname{Re}(s)>-2; a intersecção natural para todos os termos é \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{4s}{(s^{2}+1)^{2}}+\frac{s+2}{s^{2}+4s+8}-\frac{\sqrt{2}}{s}

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