Questão (30 pontos): Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a Transformada de Laplace da função
Informações fornecidas (lista de termos que precisamos transformar):
- o termo
; - o termo
; - o termo constante
.
Passo 2
Recordando a definição e propriedades essenciais que usaremos:
onde
é a variável complexa (na prática, precisamos de
suficientemente grande para convergência). A propriedade de linearidade permite escrever:
ou seja, podemos calcular a transformada de cada termo separadamente e somar com seus coeficientes.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao nosso
, temos
Agora vamos calcular cada uma dessas transformadas.
Passo 4
Cálculo de
. Usamos a propriedade que relaciona multiplicação por
com derivada em
:
Justificativa curta: se
, então
, daí a propriedade acima.
Passo 5
Primeiro obtemos
. A fórmula padrão é
No caso
,
Usando a propriedade do passo anterior,
Calculando a derivada passo a passo:
Portanto
Multiplicando pelo coeficiente
do termo original:
Passo 6
Cálculo de
. Usamos a propriedade de deslocamento na variável
:
onde
. Aqui
e
.
Primeiro
. A fórmula padrão é
Com
,
Aplicando o deslocamento
(porque
, então
):
Podemos expandir o denominador se quisermos:
logo
Passo 7
Cálculo de
. Sabendo que
para
, temos
Passo 8
Juntando todas as contribuições (somando os resultados dos passos anteriores) obtemos a transformada da função
:
Observação sobre convergência: o termo constante pede
; o termo com
exige
; a intersecção natural para todos os termos é
.