Escreva as integrais:
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
Pergunta implícita: escrever (e calcular) essa integral, possivelmente trocando a ordem de integração e também expressando em coordenadas polares. Informações importantes:
- O limite interno
vai de até . - O limite externo
vai de até . - A função a integrar é
.
Passo 2
Interpretação da região de integração no plano
.
A condição
significa
e
, isto é
Logo a região é o semicírculo superior de raio
centrado na origem (meio-disco superior).
Passo 3
Calcular a integral na ordem dada (primeiro em
, depois em
) passo a passo.
Calcule a integral interna:
Usar a antiderivada de
, que é
. Portanto
Agora a integral externa fica
Observação útil:
é uma função par, então a integral simétrica de
a
vale duas vezes a integral de
a
:
Calcule a primitiva de
, que é
. Avaliando de
a
:
Portanto
Passo 4
Trocar a ordem de integração (integrar primeiro em
, depois em
) e calcular como verificação.
Para um
fixo com
,
varia entre as abscissas da circunferência:
até
. Assim a integral trocada é
Calcule a integral interna em
: integrando
em
dá
, isto é
Agora integramos em
:
Fazer a substituição
, então
ou
. Quando
,
. Quando
,
. Assim
Calcule a primitiva:
. Portanto
Como
, obtemos
Confirmação: mesmo resultado,
.
Passo 5
Expressar a integral em coordenadas polares e calcular (outra verificação e método útil para problemas com regiões circulares).
Em coordenadas polares usar
,
e
. Na região (semicírculo superior) temos
e
. Substituindo
e o jacobiano
, a integral fica
Separe as integrais (produto de funções de
e
):
Calcule cada uma:
Multiplicando:
. Mais uma vez confirma.