Escreva as integrais:
\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^2}} 2 y dy dx

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^2}} 2 y \, dy \, dx.
Pergunta implícita: escrever (e calcular) essa integral, possivelmente trocando a ordem de integração e também expressando em coordenadas polares. Informações importantes:
  • O limite interno y vai de 0 até \sqrt{9-x^2}.
  • O limite externo x vai de -3 até 3.
  • A função a integrar é 2y.

Passo 2

Interpretação da região de integração no plano (x,y).
A condição 0 \le y \le \sqrt{9-x^2} significa y\ge 0 e y^2 \le 9 - x^2, isto é
x^2 + y^2 \le 9,\qquad y\ge 0.
Logo a região é o semicírculo superior de raio 3 centrado na origem (meio-disco superior).

Passo 3

Calcular a integral na ordem dada (primeiro em y, depois em x) passo a passo.
Calcule a integral interna:
\int_{0}^{\sqrt{9-x^2}} 2y \, dy.
Usar a antiderivada de 2y, que é y^2. Portanto
\int_{0}^{\sqrt{9-x^2}} 2y \, dy = \left[y^2\right]_{0}^{\sqrt{9-x^2}} = \left(\sqrt{9-x^2}\right)^2 - 0 = 9 - x^2.
Agora a integral externa fica
\int_{-3}^{3} (9 - x^2) \, dx.
Observação útil: 9 - x^2 é uma função par, então a integral simétrica de -3 a 3 vale duas vezes a integral de 0 a 3:
\int_{-3}^{3} (9 - x^2) \, dx = 2\int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx.
Calcule a primitiva de 9 - x^2, que é 9x - \dfrac{x^3}{3}. Avaliando de 0 a 3:
\int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx = \left[9x - \frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \left(27 - \frac{27}{3}\right) - 0 = 27 - 9 = 18.
Portanto
\int_{-3}^{3} (9 - x^2) \, dx = 2\cdot 18 = 36.

Passo 4

Trocar a ordem de integração (integrar primeiro em x, depois em y) e calcular como verificação.
Para um y fixo com 0 \le y \le 3, x varia entre as abscissas da circunferência: -\sqrt{9-y^2} até \sqrt{9-y^2}. Assim a integral trocada é
\int_{y=0}^{3} \int_{x=-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}} 2y \, dx \, dy.
Calcule a integral interna em x: integrando 2y em x 2y \cdot (\text{comprimento do intervalo em }x), isto é
\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}} 2y \, dx = 2y \cdot \Big(2\sqrt{9-y^2}\Big) = 4y\sqrt{9-y^2}.
Agora integramos em y:
\int_{0}^{3} 4y\sqrt{9-y^2} \, dy.
Fazer a substituição u = 9 - y^2, então du = -2y\,dy ou y\,dy = -\dfrac{du}{2}. Quando y=0, u=9. Quando y=3, u=0. Assim
\int_{0}^{3} 4y\sqrt{9-y^2} \, dy = 4\int_{9}^{0} \sqrt{u}\left(-\frac{du}{2}\right) = 4\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{9} \sqrt{u}\, du = 2\int_{0}^{9} u^{1/2}\, du.
Calcule a primitiva: \int u^{1/2} du = \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
2\int_{0}^{9} u^{1/2}\, du = 2\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_0^9 = 2\cdot\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}.
Como 9^{3/2} = ( \sqrt{9} )^3 = 3^3 = 27, obtemos
2\cdot\frac{2}{3}\cdot 27 = \frac{4}{3}\cdot 27 = 4\cdot 9 = 36.
Confirmação: mesmo resultado, 36.

Passo 5

Expressar a integral em coordenadas polares e calcular (outra verificação e método útil para problemas com regiões circulares).
Em coordenadas polares usar x = r\cos\theta, y = r\sin\theta e dA = r\, dr\, d\theta. Na região (semicírculo superior) temos r\in[0,3] e \theta\in[0,\pi]. Substituindo y = r\sin\theta e o jacobiano r, a integral fica
\int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{3} 2\,(r\sin\theta)\, r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{3} 2 r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta.
Separe as integrais (produto de funções de r e \theta):
\left(\int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta\right)\left(\int_{0}^{3} 2 r^2 \, dr\right).
Calcule cada uma:
\int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta = 2, \qquad \int_{0}^{3} 2 r^2 \, dr = 2\left[\frac{r^3}{3}\right]_0^3 = 2\cdot\frac{27}{3} = 18.
Multiplicando: 2\cdot 18 = 36. Mais uma vez confirma.

Resposta

36

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