Calcule as integrais: \int_{0}^{\pi} \int_{x}^{\pi} y \\ dy dx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi}\int_{x}^{\pi} y\,dy\,dx.
Informações dadas:
O integrando é y.
A integral interna é em y com limites y=x até y=\pi.
A integral externa é em x com limites x=0 até x=\pi.
A tarefa é avaliar essa integral dupla (primeiro a integral em y, depois em x).
Passo 2
Entendendo o que significa integrar em y primeiro: para cada valor fixo de x (com 0\le x\le\pi) calcula-se
\int_{x}^{\pi} y\,dy,
que é uma integral de função de uma variável y. A primitiva de y em relação a y é dada por aplicar a regra de potência:
\int y\,dy=\frac{1}{2}y^{2}+C.
Aqui C é a constante de integração que não é necessária em integrais definidas. Vou usar essa primitiva para avaliar a integral interna entre os limites y=x e y=\pi.