Calcule as integrais:
\int_{0}^{\pi} \int_{x}^{\pi} y \\ dy dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi}\int_{x}^{\pi} y\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é y.
  • A integral interna é em y com limites y=x até y=\pi.
  • A integral externa é em x com limites x=0 até x=\pi.
    A tarefa é avaliar essa integral dupla (primeiro a integral em y, depois em x).

Passo 2

Entendendo o que significa integrar em y primeiro: para cada valor fixo de x (com 0\le x\le\pi) calcula-se
\int_{x}^{\pi} y\,dy,
que é uma integral de função de uma variável y. A primitiva de y em relação a y é dada por aplicar a regra de potência:
\int y\,dy=\frac{1}{2}y^{2}+C.
Aqui C é a constante de integração que não é necessária em integrais definidas. Vou usar essa primitiva para avaliar a integral interna entre os limites y=x e y=\pi.

Passo 3

Calcular a integral interna:
\int_{x}^{\pi} y\,dy = \left.\frac{1}{2}y^{2}\right|_{y=x}^{y=\pi} = \frac{1}{2}\bigl(\pi^{2}-x^{2}\bigr).
Portanto a integral dupla fica reduzida a uma integral unidimensional em x:
\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}\bigl(\pi^{2}-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Agora avalio a integral em x. Uso linearidade para separar termos:
\int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}\bigl(\pi^{2}-x^{2}\bigr)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\pi^{2}\,dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx.
As primitivas necessárias são:
\int \pi^{2}\,dx = \pi^{2}x + C, \qquad \int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}x^{3}+C.

Passo 5

Avalio os limites:
\frac{1}{2}\left[\pi^{2}x\right]_{0}^{\pi} - \frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\bigl(\pi^{2}\pi - 0\bigr) - \frac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{3}\pi^{3}-0\bigr).
Simplificando:
\frac{1}{2}\pi^{3} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\pi^{3} = \frac{1}{2}\pi^{3}\Bigl(1-\frac{1}{3}\Bigr) = \frac{1}{2}\pi^{3}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\pi^{3}.

Passo 6

(Verificação alternativa, útil para prova) Trocar a ordem de integração: a região é \{(x,y)\mid 0\le x\le y\le\pi\}. Integrando primeiro em x
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{y} y\,dx\,dy = \int_{0}^{\pi} y\bigl(\int_{0}^{y} dx\bigr)dy = \int_{0}^{\pi} y\cdot y\,dy = \int_{0}^{\pi} y^{2}\,dy = \left.\frac{1}{3}y^{3}\right|_{0}^{\pi} = \frac{1}{3}\pi^{3},
obtenção do mesmo resultado (bom para checar erros).

Resposta

\frac{1}{3}\pi^{3}

Exercícios relacionados