Calcule o volume do sólido limitado superiormente pela superfície z= 16-x^2-y^2 e inferiormente pela região elíptica x^216+y^29 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície
z = 16 - x^2 - y^2
e acima da região elíptica
D = l(x,y)mid x^216 + y^29<=1r
no plano xy. O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas e uso de mudança de variável em coordenadas elípticas (uma versão “esticada” das coordenadas polares).

Passo 2

Escrevemos o volume como a integral dupla
V = integral duplaD l(16 - x^2 - y^2r),dA

Passo 3

Para simplificar a região D e o integrando, fazemos a troca
x = 4,rcostheta, y = 3,rsintheta,
com 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi. O jacobiano dessa transformação é
J = det4costheta & -4rsintheta[6pt]3sintheta & 3rcostheta = 12,r ]

Passo 4

Em termos de (r,theta),
x^2 = 16,r^2cos^2theta, y^2 = 9,r^2sin^2theta,
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16 - x^2 - y^2 = 16 - r^2l(16cos^2theta + 9sin^2thetar)
A integral de volume se torna
V = integral0^2piintegral0^1 l(16 - r^2(16cos^2theta+9sin^2theta)r) ;12,r;dr,dtheta

Passo 5

Integramos primeiro em theta:
integral0^2pil(16 - r^2(16cos^2theta+9sin^2theta)r),dtheta = 16cdot2pi ;-;r^2l(16pi+9pir) =32pi - 25pi,r^2,
pois integral0^2picos^2theta,dtheta=integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi.

Passo 6

Agora integramos em r:
V = 12 integral0^1 l(32pi - 25pi,r^2r),r,dr = 12pi integral0^1(32 - 25r^2),r,dr
Calculando
integral0^132r,dr = 16, integral0^125r^3,dr = 254,
vem
V = 12pil(16 - tfrac254r) =12picdot 394 =117pi

Resposta

117pi

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