Calcule o volume do sólido limitado superiormente pela superfície
e inferiormente pela região elíptica
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície
e acima da região elíptica
no plano
. O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas e uso de mudança de variável em coordenadas elípticas (uma versão “esticada” das coordenadas polares).
Passo 2
Escrevemos o volume como a integral dupla
Passo 3
Para simplificar a região
e o integrando, fazemos a troca
com
e
. O jacobiano dessa transformação é
Passo 4
Em termos de
,
logo
A integral de volume se torna
Passo 5
Integramos primeiro em
:
pois
.
Passo 6
Agora integramos em
:
Calculando
vem