Use a questão 1 para mostrar que:
(a) Se f(x) >= 0 para todo x in[a, b], então integrala^b f(x) d x >= 0.
(b) Se f(x) <= 0 para todo x in[a, b], então integrala^b f(x) d x <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um intervalo [a,b], a integral de uma função não negativa é não negativa e a integral de uma função não positiva é não positiva. Vamos usar o resultado da Questão 1, que estabelece a propriedade de monotonicidade das integrais: se duas funções f e g satisfazem
f(x)<= g(x)para todo xin[a,b],
então
integrala^bf(x),dx <= integrala^bg(x),dx

Passo 2

Para o item (a), suponha que
f(x)>= 0para todo xin[a,b]
Isto equivale a afirmar que
0 <= f(x)em [a,b]
Aplicando a monotonicidade com g(x)=f(x) e h(x)=0, obtemos
integrala^b0,dx <= integrala^bf(x),dx
Como
integrala^b0,dx = 0,
segue-se que
integrala^bf(x),dx >= 0

Passo 3

Para o item (b), suponha que
f(x)<= 0para todo xin[a,b]
Isso pode ser escrito como
f(x)<= 0em [a,b]
Pela monotonicidade, trocando agora f por h(x)=f(x) e g(x)=0, temos
integrala^bf(x),dx <= integrala^b0,dx = 0

Resposta

(a) integrala^bf(x),dx >= 0
(b) integrala^bf(x),dx <= 0

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