Reescreva a integral integral0^4 integral0^4-x2 integral0^12-3 x-6 y4 d z d y d x na ordem d y d x d z.

Passo 1

O enunciado dá a integral tripla
integralx=0^4integraly=0^4-x2integralz=0^12-3x-6y4dz,dy,dx
e pede para trocar a ordem de integração para dy,dx,dz. O conteúdo envolvido é a descrição do domínio de integração em R^3 e a projeção desse domínio nos eixos para reescrever os limites de integração.

Passo 2

Vamos primeiro descrever o domínio D em termos de inequações. A região é
D=(x,y,z)mid 0<= x<=4,;0<= y<=tfrac4-x2,;0<= z<=tfrac12-3x-6y4
Reescrevendo a condição sobre z temos
0<= z<=tfrac12-3x-6y4 Long<=ftrightarrow 3x+6y+4z<=12,
além de x>=0, y>=0, z>=0.

Passo 3

Para encontrar os limites em z (agora como variável mais externa), projetamos D no eixo z. Como 3x+6y>=0, o máximo de z ocorre quando x=y=0, dando
0<= z<=tfrac12-04=3

Passo 4

Para um z fixo em [0,3], o domínio projetado nos eixos x e y é dado por
3x+6y<=12-4z, x>=0, y>=0,
ou seja
x+2y<=4-tfrac43z

Passo 5

Escolhendo a ordem interna dy e depois dx, para cada par (x,z) fixo temos
0<= y<=12-4z-3x6,
e para que esse intervalo exista precisamos de
0<= x<=12-4z3

Passo 6

Juntando tudo, a integral original em ordem dy,dx,dz fica
integralz=0^3 integralx=0^12-4z3 integraly=0^12-4z-3x6 dy,dx,dz

Resposta

integralz=0^3 integralx=0^12-4z3 integraly=0^12-4z-3x6 dy,dx,dz

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