Calcule o volume do sólido limitado por:
x^2+y^2=x, y^2+x^2=2 x e oplano z=3-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está limitado por duas superfícies circulares dadas por x^2 + y^2 = x e x^2 + y^2 = 2x, além do plano z = 3 - y. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integração dupla, e coordenadas polares para facilitar as contas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dos círculos. A equação x^2 + y^2 = x pode ser reescrita completando o quadrado:
(x - 12)^2 + y^2 = (12)^2
Isso representa um círculo com centro no ponto (12, 0) e raio 12.
Já a equação x^2 + y^2 = 2x fica:
(x - 1)^2 + y^2 = 1^2
Este é um círculo com centro em (1, 0) e raio 1.

Passo 3

Visualizando esses círculos, vemos que o segundo círculo é maior e envolve o primeiro. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração, onde x = r costheta e y = r sintheta. Assim, as equações dos círculos ficam:
r = costheta e r = 2costheta
O intervalo para theta que faz sentido aqui é de -pi2 a pi2, onde costheta é positivo.

Passo 4

Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume. A altura do sólido é dada pelo plano z = 3 - y, que em coordenadas polares fica z = 3 - r sintheta. Então, a integral para o volume V é:
V = integral-pi2^pi2 integralcostheta^2costheta (3 - r sintheta) , r , dr , dtheta
Aqui, r , dr , dtheta é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integralcostheta^2costheta (3r - r^2 sintheta) , dr = [ 32r^2 - sintheta3r^3 ]costheta^2costheta
Substituindo os limites de integração:
( 32(4cos^2theta) - sintheta3(8cos^3theta) ) - ( 32cos^2theta - sintheta3cos^3theta ) = 92cos^2theta - 73sintheta cos^3theta

Passo 6

Agora, integramos em relação a theta:
V = integral-pi2^pi2 ( 92cos^2theta - 73sintheta cos^3theta ) dtheta
A primeira parte da integral integral cos^2theta dtheta pode ser resolvida usando a identidade cos^2theta = 1 + cos 2theta2, e a segunda parte integral sintheta cos^3theta dtheta pode ser resolvida por substituição.

Passo 7

Após resolver as integrais, a contribuição da segunda parte cancela, e a integral total fica:
V = 94 pi

Resposta

O volume do sólido é 94 pi unidades cúbicas.

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