Calcule o volume do sólido limitado por:
e oplano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está limitado por duas superfícies circulares dadas por
e
, além do plano
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integração dupla, e coordenadas polares para facilitar as contas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dos círculos. A equação
pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso representa um círculo com centro no ponto
e raio
.
Já a equação
fica:
Este é um círculo com centro em
e raio 1.
Passo 3
Visualizando esses círculos, vemos que o segundo círculo é maior e envolve o primeiro. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração, onde
e
. Assim, as equações dos círculos ficam:
O intervalo para
que faz sentido aqui é de
a
, onde
é positivo.
Passo 4
Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume. A altura do sólido é dada pelo plano
, que em coordenadas polares fica
. Então, a integral para o volume
é:
Aqui,
é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Substituindo os limites de integração:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
A primeira parte da integral
pode ser resolvida usando a identidade
, e a segunda parte
pode ser resolvida por substituição.
Passo 7
Após resolver as integrais, a contribuição da segunda parte cancela, e a integral total fica:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.