Resolva o problema de otimização:
Qual o ponto da parábola
mais perto do ponto
?
Qual o ponto da parábola
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar qual ponto da parábola
está mais perto do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de otimização e cálculo, especialmente minimização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a distância entre dois pontos no plano é dada pela fórmula da distância euclidiana. No nosso caso, queremos minimizar a distância entre um ponto genérico da parábola
e o ponto
.
A fórmula da distância
entre esses pontos é:
Mas, para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância
, já que a função raiz é complicada para derivar e a minimização ocorre no mesmo ponto.
Passo 3
Agora, vamos expandir os termos da expressão para simplificar:
Então, substituindo de volta na fórmula do
:
Passo 4
Agora, para encontrar o mínimo dessa função, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso porque, no ponto mínimo, a inclinação (derivada) é zero.
Derivando
:
Igualando a derivada a zero:
Passo 5
Encontramos que
. Agora, vamos substituir esse valor de
na equação da parábola para encontrar o valor correspondente de
:
Resposta
O ponto da parábola
mais perto do ponto
é
.