Resolva o problema de otimização:
Qual o ponto da parábola y=x^2 / 2 mais perto do ponto (4,1) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar qual ponto da parábola está mais perto do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de otimização e cálculo, especialmente minimização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a distância entre dois pontos no plano é dada pela fórmula da distância euclidiana. No nosso caso, queremos minimizar a distância entre um ponto genérico da parábola D = raiz(x - 4)^2 + (x^22 - 1)^2 e o ponto D^2 = (x - 4)^2 + (x^22 - 1)^2 .
A fórmula da distância entre esses pontos é:
Mas, para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância , já que a função raiz é complicada para derivar e a minimização ocorre no mesmo ponto.

Passo 3

Agora, vamos expandir os termos da expressão para simplificar:
(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16
(x^22 - 1)^2 = (x^22)^2 - 2 cdot x^22 cdot 1 + 1^2 = x^44 - x^2 + 1
Então, substituindo de volta na fórmula do D^2 = x^2 - 8x + 16 + x^44 - x^2 + 1 = x^44 - 8x + 17 :

Passo 4

Agora, para encontrar o mínimo dessa função, vamos derivar ddxD^2 = ddx(x^44 - 8x + 17) = x^3 - 8 em relação a x^3 - 8 = 0 implies x^3 = 8 implies x = 2 e igualar a derivada a zero. Isso porque, no ponto mínimo, a inclinação (derivada) é zero.
Derivando :
Igualando a derivada a zero:

Passo 5

Encontramos que y = (2)^22 = 42 = 2 . Agora, vamos substituir esse valor de na equação da parábola para encontrar o valor correspondente de :

Resposta

O ponto da parábola mais perto do ponto é .

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