Calcule o volume do sólido limitado por:
x+2 z=6, y=0, y=5, z=0 e x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido definido pelas seguintes superfícies:
  • $ x + 2z = 6 $
  • $ y = 0 $
  • $ y = 5 $
  • $ z = 0 $
  • $ x = 0 $
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas, para encontrar o volume desse sólido. Para isso, precisamos entender os limites de integração em cada uma das coordenadas: $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que cada uma dessas equações representa no espaço 3D:
  • $ x + 2z = 6 $: É um plano inclinado que intercepta os eixos $ x $ e $ z $.
  • $ y = 0 $ e $ y = 5 $: Planos paralelos ao eixo $ xz $, definindo a extensão em $ y $ de 0 a 5.
  • $ z = 0 $: Plano $ xy $, a base do sólido.
  • $ x = 0 $: Plano $ yz $, limitando o sólido no lado de $ x $.

Passo 3

Para determinar os limites de integração, precisamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver a equação $ x + 2z = 6 $ para $ x $:
x + 2z = 6
Isso nos mostra que, para um valor fixo de $ z $, $ x $ varia de 0 a $ 6 - 2z $.

Passo 4

Agora, observamos que $ y $ varia de 0 a 5, conforme dado pelas equações $ y = 0 $ e $ y = 5 $.
Para o eixo $ z $, vemos que $ z = 0 $ é a base, e precisamos encontrar o limite superior. Da equação $ x = 6 - 2z $, quando $ x = 0 $, temos $ 0 = 6 - 2z $, então $ z = 3 $. Portanto, $ z $ varia de 0 a 3.

Passo 5

Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume $ V $:
V

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Começamos integrando em relação a $ x $:
x
Agora, a integral fica:
integralx=0^6 - 2z dx = [ x ]0^6 - 2z = 6 - 2z

Passo 7

Integrando agora em relação a $ z $:
z
A integral simplifica para:
integralz=0^3 (6 - 2z) , dz = [ 6z - z^2 ]0^3 = (18 - 9) - (0 - 0) = 9

Passo 8

Finalmente, integrando em relação a $ y $:
y

Resposta

O volume do sólido é $ 45 $ unidades cúbicas.

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