Otimizacad e Mé to do de Lagrange
Determine os pontos críticos da funçad
Determine os pontos críticos da funçad
Passo 1
A questão pede os pontos críticos da função f(x,y)= x y² e^{x+y}. O conteúdo é derivadas parciais e pontos críticos (gradiente zero). Pra resolver a gente vai precisar calcular as derivadas parciais
e
e igualar ambas a zero.
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial em relação a x usando a regra do produto (x e y²e^{x+y}):
Passo 3
Agora a derivada parcial em relação a y. Aqui usamos regra do produto em (y² e^{x+y}), mantendo x fixo:
Passo 4
Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
Como $e^{x+y}$ nunca zera, dá pra simplificar para
- \y^2(x+1)=0 => y=0 ou x=-1.
- \x y (y+2)=0 => x=0 ou y=0 ou y=-2.
Analisando casos:
- Se y=0, o segundo já vale pra todo x.
- Se x=0, o primeiro exige y=0 (já incluso acima).
- Se x=-1, o segundo exige y=0 ou y=-2.
- Se y=-2, o primeiro exige x=-1.
Passo 5
Concluindo, os pontos críticos são todos os pares com y=0 (qualquer x∈ℝ) e o ponto isolado (–1, –2).
Resposta
Os pontos críticos são {(x,0) | x∈ℝ} e o ponto (-1,-2).