Otimizacad e Mé to do de Lagrange
Determine os pontos críticos da funçad f(x, y)=x cdot y^2 cdot e^x+y

Passo 1

A questão pede os pontos críticos da função f(x,y)= x y² e^{x+y}. O conteúdo é derivadas parciais e pontos críticos (gradiente zero). Pra resolver a gente vai precisar calcular as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y e igualar ambas a zero.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial em relação a x usando a regra do produto (x e y²e^{x+y}):
partial fpartial x = y^2 e^x+y + x y^2 e^x+y = y^2 e^x+y(1 + x)

Passo 3

Agora a derivada parcial em relação a y. Aqui usamos regra do produto em (y² e^{x+y}), mantendo x fixo:
partial fpartial y = xl(2y e^x+y + y^2 e^x+yr) = x e^x+y y (2 + y)

Passo 4

Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
y^2 e^x+y(x+1)=0, x e^x+y y (y+2)=0
Como $e^{x+y}$ nunca zera, dá pra simplificar para
  1. \y^2(x+1)=0 => y=0 ou x=-1.
  2. \x y (y+2)=0 => x=0 ou y=0 ou y=-2.
Analisando casos:
  • Se y=0, o segundo já vale pra todo x.
  • Se x=0, o primeiro exige y=0 (já incluso acima).
  • Se x=-1, o segundo exige y=0 ou y=-2.
  • Se y=-2, o primeiro exige x=-1.

Passo 5

Concluindo, os pontos críticos são todos os pares com y=0 (qualquer x∈ℝ) e o ponto isolado (–1, –2).

Resposta

Os pontos críticos são {(x,0) | x∈ℝ} e o ponto (-1,-2).

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