Derivadas Direcionais e Gradiente
Calcule Dmu f na diregad do vetor mu=(3,4) no ponto (0,0) dado que
f(x, y)=ccc x+2 y & se & (x, y) neq(0,0) 1 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de uma função definida por partes em f(0,0). O tema é derivadas direcionais, e vamos usar a definição de derivada direcional como limite da diferença quociente na direção de um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro normalizamos o vetor μ=(3,4) para obter o vetor unitário u. O módulo de μ é
|mu|=raiz3^2+4^2=5, logo
u=15(3,4)=l(35,45r)

Passo 3

A derivada direcional de f em (0,0) na direção u é definida por
Duf(0,0)=limtto0f(0+tu)-f(0,0)t Como f(0,0)=1 e, para t≠0,
fl(ttfrac35,ttfrac45r)=x+2y=tl(tfrac35+2cdottfrac45r)=tcdottfrac115, podemos substituir no quociente.

Passo 4

O quociente é
f(0+tu)-f(0,0)t=tcdottfrac115-1t=115-1t

Passo 5

Quando t→0⁺, 1/t→+∞ e a expressão vai a −∞; quando t→0⁻, 1/t→−∞ e a expressão vai a +∞. Como os dois lados não coincidem (e não é finito), o limite não existe.

Resposta

A derivada direcional D_{μ}f(0,0) não existe.

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