Calcule \iint_{D} \operatorname{sen}(4 x-y) e^{3 x+2 y} d A, onde D é definido por 4 x-y=\pi, 4 x-y=2 \pi, 3 x+2 y=1 e 3 x+2 y=2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de área
\iint_{D}\sin(4x - y)\,e^{3x + 2y}\,dA
no paralelogramo D dado pelas retas
4x - y = \pi,\quad 4x - y = 2\pi,\quad 3x + 2y = 1,\quad 3x + 2y = 2.
Como as fronteiras são linhas de nível de u=4x-y e v=3x+2y, vamos usar a mudança de variáveis
u = 4x - y,\quad v = 3x + 2y,
que transforma D num retângulo no plano uv.

Passo 2

Resolvendo para x,y\) em função de \(u,v\), temos \[\begin{cases} y = 4x - u,\\\ v = 3x + 2y = 3x + 2(4x - u) = 11x - 2u, \end{cases}
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x = \frac{v + 2u}{11},\quad y = \frac{4v - 3u}{11}.
O jacobiano é
J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det\begin{pmatrix} \frac{2}{11} & \frac{1}{11}\\[6pt] -\frac{3}{11} & \frac{4}{11} \end{pmatrix} = \frac{2\cdot4 - 1\cdot(-3)}{11^2} = \frac{11}{121} = \frac{1}{11},
portanto (dA = \tfrac{1}{11},du,dv].]

Passo 3

Na nova variável, o integrando fica
\sin(4x - y)\,e^{3x + 2y} = \sin(u)\,e^{v}.

Passo 4

Os limites em uv são
\pi \le u \le 2\pi,\qquad 1 \le v \le 2,
isto é, um retângulo [\pi,2\pi]\times[1,2].

Passo 5

A integral torna-se
\iint_{D}\sin(4x - y)\,e^{3x + 2y}\,dA = \int_{u=\pi}^{2\pi}\!\int_{v=1}^{2}\sin(u)\,e^{v}\,\frac{1}{11}\,dv\,du = \frac{1}{11}\Bigl(\int_{\pi}^{2\pi}\sin(u)\,du\Bigr)\Bigl(\int_{1}^{2}e^{v}\,dv\Bigr).
Calculando cada parte:
\int_{\pi}^{2\pi}\sin(u)\,du = \bigl[-\cos(u)\bigr]_{\pi}^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(\pi) = -1 +(-1) = -2,
\int_{1}^{2}e^{v}\,dv = e^{2} - e^{1} = e^2 - e.
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\iint_{D}\dots = \frac{1}{11}\,(-2)\,(e^2 - e) = -\frac{2\,(e^2 - e)}{11}.

Resposta

-\frac{2\,(e^2 - e)}{11}.

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