Calcule o volume do sólido limitado por:
z=x^2+y^2, z=0, x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está limitado pelas superfícies $ z = x^{2} + y^{2} $, $ z = 0 $ e $ x^{2} + y^{2} = 4 $. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas. Como a região é circular devido a $ x^{2} + y^{2} = 4 $, a gente vai usar coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as limitações do sólido. A superfície $ z = x^{2} + y^{2} $ é um paraboloide que se abre para cima, e $ z = 0 $ é o plano xy. A interseção dessas duas superfícies ocorre quando $ x^{2} + y^{2} = 0 $, ou seja, no ponto (0,0). A última equação, $ x^{2} + y^{2} = 4 $, descreve um círculo de raio 2 no plano xy. Então, nosso sólido está entre $ z = 0 $ e $ z = x^{2} + y^{2} $, dentro do círculo de raio 2.

Passo 3

Agora, vamos trocar para coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Isso simplifica a integral porque a região de integração é um círculo. Na coordenada polar, a expressão $ z = x^{2} + y^{2} $ vira $ z = r^{2} $. O limite para $ r $ vai de 0 até 2, e para $ \theta $ vai de 0 até $ 2\pi $.

Passo 4

A fórmula para o volume em coordenadas polares é:
V = integral0^2pi integral0^2 z cdot r , dr , dtheta
Substituindo $ z = r^{2} $:
z = r^2

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
r

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

O volume do sólido é $ 8\pi $ unidades cúbicas.

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