Desenhe o conjunto
dado e calcule a área.
A é a superfície limitada pelas curvas
e
.
A é a superfície limitada pelas curvas
Passo 1
Vamos achar a região limitada pelas curvas
e
e depois calcular a área entre elas usando integração.
Passo 2
Igualamos as duas funções para encontrar os pontos de interseção:
isso leva a
Portanto
e
, dando os pontos de interseção
e
.
Passo 3
Para saber qual curva está acima no intervalo
, avaliamos em
:
Como
, a curva
fica por cima de
nesse intervalo.
Passo 4
Esboço qualitativo:
– Ambas são parábolas voltadas para baixo.
– Interseções em e
.
– Vértices em e
, respectivamente.
– A região é a “lente” entre essas curvas.
– Ambas são parábolas voltadas para baixo.
– Interseções em
– Vértices em
– A região
Passo 5
O cálculo da área é feito pela integral da diferença entre a curva superior e a inferior:
Passo 6
Agora integramos:
Passo 7
Avaliação de
a
:
Resposta
A área da região
é
.