Desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
A é a superfície limitada pelas curvas y=6 x-3 x^2 e y=2 x-x^2.

Passo 1

Vamos achar a região limitada pelas curvas y=6x-3x^2 e y=2x-x^2 e depois calcular a área entre elas usando integração.

Passo 2

Igualamos as duas funções para encontrar os pontos de interseção:
6x-3x^2 ,=,2x-x^2
isso leva a
6x-3x^2-2x+x^2=0
4x-2x^2=0
2x(2-x)=0
Portanto x=0 e x=2, dando os pontos de interseção (0,0) e (2,0).

Passo 3

Para saber qual curva está acima no intervalo [0,2], avaliamos em x=1:
6(1)-3(1)^2=3,
2(1)-(1)^2=1
Como 3>1, a curva y=6x-3x^2 fica por cima de y=2x-x^2 nesse intervalo.

Passo 4

Esboço qualitativo:
– Ambas são parábolas voltadas para baixo.
– Interseções em (0,0) e (2,0).
– Vértices em (1,3) e (1,1), respectivamente.
– A região A é a “lente” entre essas curvas.

Passo 5

O cálculo da área é feito pela integral da diferença entre a curva superior e a inferior:
Área=integral0^2l[(6x-3x^2)-(2x-x^2)r]dx =integral0^2(4x-2x^2),dx Á

Passo 6

Agora integramos:
integral (4x-2x^2),dx =2x^2-tfrac23x^3

Passo 7

Avaliação de 0 a 2:
l[2x^2-tfrac23x^3r]0^2 =l(2cdot4-tfrac23cdot8r)-0 =8-tfrac163 =tfrac83

Resposta

A área da região A é tfrac83.

Exercícios relacionados