Mostre que o seguinte limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite
não existe. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos analisar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de
por caminhos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar aproximar
de
pelo caminho onde
.
Substituindo
por
na expressão:
Como
está se aproximando de 0, podemos considerar
, então
. Portanto:
Então, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 3
Agora, vamos aproximar
de
por um caminho diferente, por exemplo,
.
Substituindo
por 0 na expressão:
Então, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 4
Observamos que pelo caminho
o limite foi
, e pelo caminho
o limite foi
. Como os resultados são diferentes dependendo do caminho escolhido para se aproximar de
, isso significa que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.