Mostre que o seguinte limite não existe:
lim substackx 0 y 0 raizx yx+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o limite lim substackx 0 y 0 raizx yx+y não existe. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos analisar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de (0,0) por caminhos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar aproximar (x, y) de (0,0) pelo caminho onde y = x.
Substituindo y por x na expressão:
raizx cdot xx + x = raizx^22x = |x|2x
Como x está se aproximando de 0, podemos considerar x > 0, então |x| = x. Portanto:
x2x = 12
Então, pelo caminho y = x, o limite é 12.

Passo 3

Agora, vamos aproximar (x, y) de (0,0) por um caminho diferente, por exemplo, y = 0.
Substituindo y por 0 na expressão:
raizx cdot 0x + 0 = 0x = 0
Então, pelo caminho y = 0, o limite é 0.

Passo 4

Observamos que pelo caminho y = x o limite foi 12, e pelo caminho y = 0 o limite foi 0. Como os resultados são diferentes dependendo do caminho escolhido para se aproximar de (0,0), isso significa que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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