Calcule o volume do sólido e a massa a partir da integral. Densidade de.
integral-2^2 integral1^1+x^2 integral0^5-y x-1 d z d y d x

Passo 1

Vamos calcular o volume e a massa do sólido definido por x∈[−2,2], y∈[1,1+x²], z∈[0,5−y], com densidade δ(x,y,z)=x−1.

Passo 2

Para o volume usamos a integral tripla de 1 sobre o volume:
V=integral-2^2integral1^1+x^2integral0^5-y1,dz,dy,dx

Passo 3

Integrando em z:
integral0^5-y1,dz=5-y
Então
V=integral-2^2integral1^1+x^2(5-y),dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y:
integral1^1+x^2(5-y),dy=l[5y-y^22r]1^1+x^2=4x^2-x^42
Logo
V=integral-2^2l(4x^2-tfracx^42r),dx

Passo 5

Como a função é par,
V=2integral0^2l(4x^2-tfracx^42r),dx =2l[tfrac4x^33-tfracx^510r]0^2=22415

Passo 6

Para a massa fazemos
m=integral triplaV(x-1),dV=integral-2^2integral1^1+x^2integral0^5-y(x-1),dz,dy,dx

Passo 7

Integramos em z:
integral0^5-y(x-1),dz=(5-y)(x-1)
Então
m=integral-2^2integral1^1+x^2(x-1)(5-y),dy,dx

Passo 8

Como antes
integral1^1+x^2(5-y),dy=4x^2-tfracx^42,
multiplicamos por (x-1) e integramos em x:
m=integral-2^2(x-1)l(4x^2-tfracx^42r),dx

Passo 9

Expandindo, os termos ímpares desaparecem e ficamos com
m=integral-2^2l(-4x^2+tfracx^42r),dx=2integral0^2l(-4x^2+tfracx^42r),dx=-22415

Resposta

V=22415, m=-22415

Exercícios relacionados