Calcule o volume do sólido
. GAB:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido definido por
Esse problema envolve volume via integral tripla. A gente vai usar que o volume é dado por integrar a função 1 sobre essa região, montando limites adequados para x, y e z.
Passo 2
Para achar os limites de x, note que as desigualdades 0\le y\le 1-x^2 e 0\le z\le 1-x^2 só fazem sentido se 1-x^2\ge0. Então temos
Passo 3
Com os limites definidos, escrevemos o volume como
Aqui usamos a definição de volume por integral tripla, integrando 1 sobre S.
Passo 4
Primeiro fazemos as integrais internas em z e y. Como o limite de z não depende de y, temos
Passo 5
O volume reduz-se então a uma integral simples em x:
Passo 6
Agora integramos termo a termo:
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Passo 7
Bastam contas de frações para concluir:
portanto