Calcule o volume do sólido S=(x, y, z) in R^3 mid 0 <= y <= 1-x^2, 0 <= z <= 1-x^2. GAB: 1615

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido definido por
S=(x,y,z)inR^3mid 0<= y<= 1-x^2,;0<= z<= 1-x^2
Esse problema envolve volume via integral tripla. A gente vai usar que o volume é dado por integrar a função 1 sobre essa região, montando limites adequados para x, y e z.

Passo 2

Para achar os limites de x, note que as desigualdades 0\le y\le 1-x^2 e 0\le z\le 1-x^2 só fazem sentido se 1-x^2\ge0. Então temos
-1<= x<=1.

Passo 3

Com os limites definidos, escrevemos o volume como
V=integralx=-1^1integraly=0^1-x^2integralz=0^1-x^21,dz,dy,dx
Aqui usamos a definição de volume por integral tripla, integrando 1 sobre S.

Passo 4

Primeiro fazemos as integrais internas em z e y. Como o limite de z não depende de y, temos
integraly=0^1-x^2integralz=0^1-x^21,dz,dy =integraly=0^1-x^2(1-x^2),dy =(1-x^2)cdot(1-x^2) =(1-x^2)^2

Passo 5

O volume reduz-se então a uma integral simples em x:
V=integral-1^1(1-x^2)^2,dx =integral-1^1(1-2x^2+x^4),dx

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
integral-1^11,dx=2, integral-1^1x^2,dx=tfrac23, integral-1^1x^4,dx=tfrac25
Logo
V=2-2cdottfrac23+tfrac25 =2-tfrac43+tfrac25

Passo 7

Bastam contas de frações para concluir:
2=tfrac3015, tfrac43=tfrac2015, tfrac25=tfrac615,
portanto
V=tfrac3015-tfrac2015+tfrac615 =tfrac1615

Resposta

tfrac1615

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