Faça o estudo do sinal de cada uma das funções abaixo, isto é, determine os intervalos em que ela é positiva e os intervalos em que ela é negativa.
f(x)=2 x1+x^2

Passo 1

O enunciado pede o estudo de sinal da função f(x)= 2x1+x^2. O conteúdo é análise de sinais de funções racionais, e vamos precisar achar zeros do numerador e zeros do denominador para montar o quadro de sinais.

Passo 2

Começamos determinando o domínio. Como 1+x^2>0 para todo xinR, o denominador nunca anula. Logo, o domínio é R e não há pontos de descontinuidade.

Passo 3

Em seguida, achamos os zeros da função. A função anula quando o numerador é zero, isto é, 2x=0 leva a x=0. Como o denominador nunca zera, não há raízes adicionais nem assíntotas verticais.

Passo 4

Para montar o quadro de sinais, observamos: o denominador 1+x^2 é sempre positivo, logo o sinal de f(x) vem exclusivamente do numerador 2x. Assim, quando x>0, 2x>0 e f(x)>0; quando x<0, 2x<0 e f(x)<0; em x=0, f(x)=0.

Resposta

f(x)>0 para x\in(0,\infty); f(x)=0 em x=0; f(x)<0 para x\in(-\infty,0).

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