Faça o estudo do sinal de cada uma das funções abaixo, isto é, determine os intervalos em que ela é positiva e os intervalos em que ela é negativa.
f(x)=e^x cos (x), para x in(0,2 pi) note a restrição feita no domínio

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos estudar o sinal da função $ f(x) = e^{x} \cos(x) $ no intervalo $ x \in (0, 2\pi) $. Isso envolve entender onde a função é positiva ou negativa. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de exponenciais e funções trigonométricas, além de saber como combinar essas informações para analisar os sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função $ f(x) = e^{x} \cos(x) $. Ela é composta por duas partes: $ e^{x} $, que é uma função exponencial sempre positiva, e $ \cos(x) $, que oscila entre -1 e 1. Como $ e^{x} $ é sempre positiva, o sinal de $ f(x) $ vai depender somente do sinal de $ \cos(x) $.

Passo 3

Vamos então analisar onde $ \cos(x) $ é positiva e onde é negativa no intervalo $ (0, 2\pi) $. Sabemos que:
  • $ \cos(x) $ é positiva quando $ x $ está no primeiro e quarto quadrantes, ou seja, entre $ 0 $ e $ \frac{\pi}{2} $ e entre $ \frac{3\pi}{2} $ e $ 2\pi $.
  • $ \cos(x) $ é negativa quando $ x $ está no segundo e terceiro quadrantes, ou seja, entre $ \frac{\pi}{2} $ e $ \frac{3\pi}{2} $.

Passo 4

Agora, já que $ e^{x} $ é sempre positivo, o sinal de $ f(x) $ será o mesmo de $ \cos(x) $. Portanto:
  • Para $ x \in (0, \frac{\pi}{2}) $ e $ x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) $, $ \cos(x) $ é positiva, então $ f(x) $ é positiva.
  • Para $ x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) $, $ \cos(x) $ é negativa, então $ f(x) $ é negativa.

Resposta

A função $ f(x) = e^{x} \cos(x) $ é positiva nos intervalos $ (0, \frac{\pi}{2}) $ e $ (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) $ e negativa no intervalo $ (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) $ para $ x \in (0, 2\pi) $.

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