Faça o estudo do sinal de cada uma das funções abaixo, isto é, determine os intervalos em que ela é positiva e os intervalos em que ela é negativa.
f(x)=8x+x^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da função f(x)=8x+x^2, ou seja, determinar em quais intervalos ela é positiva ou negativa. Vamos usar conceitos de domínio, raízes da função e teste de sinais em intervalos.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio de f. Como aparece x no denominador, temos restrição: x não pode ser zero. Logo, o domínio é Rsetminus0.

Passo 3

Em seguida, buscamos as raízes de f, resolvendo f(x)=0:
x^2 + 8x = 0
Multiplicando ambos os lados por x (lembrando que xneq0):
x^3 + 8 = 0
Daí vem x^3=-8 e a única raiz real é x=-2.

Passo 4

Agora identificamos os pontos críticos que dividem a reta: a raiz x=-2 e a descontinuidade x=0. Isso cria três intervalos para testar:
• ((-
fty,-2))
(-2,0)

Passo 5

Escolhemos um valor em cada intervalo e calculamos o sinal de f(x):
• Em x=-3: f(-3)=9-tfrac83>0.
• Em x=-1: f(-1)=1-8<0.
• Em x=1: f(1)=1+8>0.
Portanto, f(x)>0 em ((-
fty,-2)) e em , e (0,nfty) em f(x)<0.

Resposta

f(x)>0 para xin(-infty,-2)cup(0,infty), e f(x)<0 para xin(-2,0).

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