Calcule o volume do sólido obtido girando-se a região entre o gráfico de y= 1 / x^2, as retas y=1 e y=-1 em torno do Eixo x.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelo gráfico de y=1/x^2 e pelas retas horizontais y=1 e y=-1. Vamos usar o método de discos/cascas para volumes de revolução.

Passo 2

Primeiro, achamos onde y=1/x^2 intercepta y=1: basta resolver 1/x^2=1, o que dá x=±1. Não há interseção entre y=1/x^2 e y=-1, pois 1/x^2>0 para todo xne0. Isso mostra que a região não é fechada: para y<0 (abaixo de y=-1) não há curva limitante à direita ou à esquerda, e portanto a região se estende indefinidamente em x.

Passo 3

Se tentarmos aplicar a fórmula de volume pelo método dos discos, teríamos
V=integral-infty^infty pil(Rout^2-Rin^2r),dx = integral-infty^inftypil((1/x^2)^2-(-1)^2r),dx = piintegral-infty^inftyl(1/x^4-1r),dx,
essa integral não converge: o termo -1 gera divergência linear em x, logo o volume é infinito.

Resposta

O volume diverge, ou seja, é infinito.

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