Calcule a área sob o gráfico de
entre
e
, esboçando cada região, se:
Passo 1
Resumo do enunciado e do conteúdo: Queremos calcular a área entre o gráfico de
e o eixo
no intervalo de
até
, onde
. O conteúdo envolve integração definida e tratamento de sinal de
para obter a área (valor absoluto da integral).
Passo 2
Identificação dos zeros de
e dos sinais: Primeiro achamos onde
. Resolvendo
temos
. Ao esboçar o gráfico, notamos que em
a função é positiva e em
é negativa. Por isso vamos dividir o cálculo em dois pedaços.
Passo 3
Cálculo da primitiva de
: Para integrar
usamos as regras de potência. Uma antiderivada é:
Passo 4
Cálculo das integrais em cada intervalo:
Para , como
, a integral dá a própria área:
Para
Passo 5
Para
, como
, a área é o valor absoluto da integral:
então a área nesta parte vale
Passo 6
Soma das áreas e conclusão: Somando as duas regiões (acima e abaixo do eixo), temos
Passo 7
Portanto, a área total sob o gráfico de
entre
e
é
.
Resposta
\tfrac12