Calcule a área sob o gráfico de y=f(x) entre x=a e x=b, esboçando cada região, se:
f(x)=x^3-x, x=-1, x=1

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: Queremos calcular a área entre o gráfico de y=f(x) e o eixo x no intervalo de x=-1 até x=1, onde f(x)=x^3-x. O conteúdo envolve integração definida e tratamento de sinal de f(x) para obter a área (valor absoluto da integral).

Passo 2

Identificação dos zeros de f(x) e dos sinais: Primeiro achamos onde f(x)=0. Resolvendo x^3-x= x(x^2-1)=0 temos x=-1,0,1. Ao esboçar o gráfico, notamos que em [-1,0] a função é positiva e em [0,1] é negativa. Por isso vamos dividir o cálculo em dois pedaços.

Passo 3

Cálculo da primitiva de f(x): Para integrar f(x)=x^3-x usamos as regras de potência. Uma antiderivada é:
F(x)=integral(x^3 - x),dx=x^44-x^22+C

Passo 4

Cálculo das integrais em cada intervalo:
Para [-1,0], como f(x)>=0, a integral dá a própria área:
integral-1^0(x^3 - x),dx=F(0)-F(-1)=l(0r)-l(tfrac(-1)^44-tfrac(-1)^22r)=0-l(tfrac14-tfrac12r)=tfrac14

Passo 5

Para [0,1], como f(x)<=0, a área é o valor absoluto da integral:
integral0^1(x^3 - x),dx=F(1)-F(0)=l(tfrac1^44-tfrac1^22r)-0=tfrac14-tfrac12=-tfrac14,
então a área nesta parte vale |-tfrac14|=tfrac14.

Passo 6

Soma das áreas e conclusão: Somando as duas regiões (acima e abaixo do eixo), temos
tfrac14+tfrac14=tfrac12

Passo 7

Portanto, a área total sob o gráfico de f(x)=x^3-x entre x=-1 e x=1 é tfrac12.

Resposta

\tfrac12

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