Escolha um ponto a x+b y+c z+d1=0 no plano a x+b y+ e um outro ponto c z+d2=0 no plano D v. Construa o vetor n=a i+b j+c k. A distância procurada é dada pela projeção do vetor sobre o vetor normal dos planos .

Passo 1

O exercício pede para calcular a distância entre dois planos paralelos dadas por ax+by+cz+d₁=0 e ax+by+cz+d₂=0. O conteúdo envolvido é distância entre planos via projeção de um vetor de ligação no vetor normal dos planos, e vamos precisar da definição de projeção de vetores e das equações dos pontos em cada plano.

Passo 2

Escolhemos um ponto P₁=(x₁,y₁,z₁) que satisfaz a x₁ + b y₁ + c z₁ + d₁ = 0 e um ponto P₂=(x₂,y₂,z₂) que satisfaz a x₂ + b y₂ + c z₂ + d₂ = 0. Definimos o vetor de ligação e o vetor normal aos planos

Passo 3

Segundo a teoria, a distância entre planos paralelos é a projeção absoluta de $v$ sobre $n$, dada por
$$
D = rac{|v \cdot n|}{|n|}.
$$

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar $v \cdot n$ usando as equações dos pontos nos planos. Temos
$$
v \cdot n = a(x₂ - x₁) + b(y₂ - y₁) + c(z₂ - z₁) = (a x₂ + b y₂ + c z₂) - (a x₁ + b y₁ + c z₁).
$$
Como $a x₂ + b y₂ + c z₂ = -d₂$ e $a x₁ + b y₁ + c z₁ = -d₁$, resulta
$$
v \cdot n = -d₂ - (-d₁) = d₁ - d₂.
$$

Passo 5

O comprimento do vetor normal é
$$
|n| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.
$$

Passo 6

Substituindo em $D = |v \cdot n| / |n|$, chega-se à fórmula final da distância.

Passo 7

Resposta

D = |d1 - d2|raiza^2 + b^2 + c^2

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