Escolha um ponto
no plano
e um outro ponto
no plano
. Construa o vetor
. A distância
procurada é dada pela projeção do vetor
sobre o vetor normal dos planos
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a distância entre dois planos paralelos dadas por ax+by+cz+d₁=0 e ax+by+cz+d₂=0. O conteúdo envolvido é distância entre planos via projeção de um vetor de ligação no vetor normal dos planos, e vamos precisar da definição de projeção de vetores e das equações dos pontos em cada plano.
Passo 2
Escolhemos um ponto P₁=(x₁,y₁,z₁) que satisfaz a x₁ + b y₁ + c z₁ + d₁ = 0 e um ponto P₂=(x₂,y₂,z₂) que satisfaz a x₂ + b y₂ + c z₂ + d₂ = 0. Definimos o vetor de ligação
e o vetor normal aos planos
Passo 3
Segundo a teoria, a distância entre planos paralelos é a projeção absoluta de $v$ sobre $n$, dada por
$$
D = rac{|v \cdot n|}{|n|}.
$$
D = rac{|v \cdot n|}{|n|}.
$$
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar $v \cdot n$ usando as equações dos pontos nos planos. Temos
$$
v \cdot n = a(x₂ - x₁) + b(y₂ - y₁) + c(z₂ - z₁) = (a x₂ + b y₂ + c z₂) - (a x₁ + b y₁ + c z₁).
$$
v \cdot n = a(x₂ - x₁) + b(y₂ - y₁) + c(z₂ - z₁) = (a x₂ + b y₂ + c z₂) - (a x₁ + b y₁ + c z₁).
$$
Como $a x₂ + b y₂ + c z₂ = -d₂$ e $a x₁ + b y₁ + c z₁ = -d₁$, resulta
$$
v \cdot n = -d₂ - (-d₁) = d₁ - d₂.
$$
v \cdot n = -d₂ - (-d₁) = d₁ - d₂.
$$
Passo 5
O comprimento do vetor normal é
$$
|n| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.
$$
|n| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.
$$
Passo 6
Substituindo em $D = |v \cdot n| / |n|$, chega-se à fórmula final da distância.