(3pts) Considere a quádrica
.
a) Encontre seu “centro” e identifique as curvas de interseção com os planos paralelos aos planos coordenados que passam por ele (não precisa fazer esboço).
b) Dê parametrizações para as três curvas identificadas no item (a).
c) Identifique a quádrica justificando corretamente.
d) Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva de interseção com o plano
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a) Encontre seu “centro” e identifique as curvas de interseção com os planos paralelos aos planos coordenados que passam por ele (não precisa fazer esboço).
b) Dê parametrizações para as três curvas identificadas no item (a).
c) Identifique a quádrica justificando corretamente.
d) Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva de interseção com o plano
Passo 1
A questão trata de uma superfície quadrică em
R^3 dada por
R^3 dada por
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma canônica e encontrando o centro. Primeiro, passo tudo para um lado:
Dividindo por 2:
Isso mostra que o “centro” é o ponto que anula cada termo quadrático:
As curvas de interseção com os planos que passam por esse centro são dadas por x=1, y=1 e z=−2 inseridos na forma canônica.
Passo 3
Parametrizando cada curva de interseção:
– Plano x=1:
– Plano x=1:
Usamos parámetro t real:
$$y-1=\sqrt2\cosh t,
\quad z+2=\sinh t.
r_1(t)=\bigl(1,;1+\sqrt2\cosh t,;-2+\sinh t\bigr).$$
– Plano y=1:
Com parâmetro u:
$$x-1=\cosh u,
\quad z+2=\sinh u,$$
– Plano z=−2:
Com parâmetro θ:
$$x-1=\cos θ,
\quad y-1=\sqrt2\sin θ,$$
Passo 4
Identificando o tipo de quádrică. Na forma
há um coeficiente positivo e dois negativos. Isso caracteriza um hiperboloide de duas folhas, com eixo principal paralelo ao eixo x.
Passo 5
Encontrando a reta tangente à curva em z=−2 (ou seja,
r_3) no ponto θ=π. Primeiro r_3(π) dá
r_3) no ponto θ=π. Primeiro r_3(π) dá
$$r_3(π)=(1+\cos π,;1+\sqrt2\sin π,;-2)=(0,1,-2).
em θ=π:
Logo a reta tangente é
a partir de (0,1,-2) com direção (0,−√2,0).
Resposta
a) Centro: (1,1,−2). Curvas de interseção:
– x=1: (hipérbole).
– y=1: (hipérbole).
– z=−2: (elipse).
b) Parametrizações:
– r₁(t) = (1, 1+√2 cosh t, −2+ sinh t).
– r₂(u) = (1+ cosh u, 1, −2+ sinh u).
– r₃(θ) = (1+ cos θ, 1+√2 sin θ, −2).
c) A superfície é um hiperboloide de duas folhas, eixo paralelo a x.
d) Reta tangente em t=π:
– x=1:
– y=1:
– z=−2:
b) Parametrizações:
– r₁(t) = (1, 1+√2 cosh t, −2+ sinh t).
– r₂(u) = (1+ cosh u, 1, −2+ sinh u).
– r₃(θ) = (1+ cos θ, 1+√2 sin θ, −2).
c) A superfície é um hiperboloide de duas folhas, eixo paralelo a x.
d) Reta tangente em t=π: