(3pts) Considere a quádrica 2(x-1)^2-2(z+2)^2=2-(y-1)^2.
a) Encontre seu “centro” e identifique as curvas de interseção com os planos paralelos aos planos coordenados que passam por ele (não precisa fazer esboço).
b) Dê parametrizações para as três curvas identificadas no item (a).
c) Identifique a quádrica justificando corretamente.
d) Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva de interseção com o plano z=-2 em t=pi.

Passo 1

A questão trata de uma superfície quadrică em
R^3 dada por
2(x-1)^2-2(z+2)^2=2-(y-1)^2 Vamos encontrar o centro, as interseções com planos paralelos aos coordenados que passam por esse centro, parametrizá-las, identificar o tipo de quádrică e, por fim, achar a reta tangente a uma dessas curvas.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma canônica e encontrando o centro. Primeiro, passo tudo para um lado:
2(x-1)^2-(y-1)^2-2(z+2)^2=2
Dividindo por 2:
(x-1)^2- rac(y-1)^22-(z+2)^2=1
Isso mostra que o “centro” é o ponto que anula cada termo quadrático:
(x,y,z)=(1,1,-2)
As curvas de interseção com os planos que passam por esse centro são dadas por x=1, y=1 e z=−2 inseridos na forma canônica.

Passo 3

Parametrizando cada curva de interseção:
– Plano x=1:
-2(z+2)^2=2-(y-1)^2implies (y-1)^22-(z+2)^2=1
Usamos parámetro t real:
$$y-1=\sqrt2\cosh t,
\quad z+2=\sinh t. y-1=raiz2cosh t, z+2=sinh tr_1(t)=\bigl(1,;1+\sqrt2\cosh t,;-2+\sinh t\bigr).$$
– Plano y=1:
r1(t)=l(1,;1+raiz2cosh t,;-2+sinh tr)
Com parâmetro u:
$$x-1=\cosh u,
\quad z+2=\sinh u,$$
2(x-1)^2-2(z+2)^2=2implies (x-1)^2-(z+2)^2=1
– Plano z=−2:
x-1=cosh u, z+2=sinh u,
Com parâmetro θ:
$$x-1=\cos θ,
\quad y-1=\sqrt2\sin θ,$$
r2(u)=l(1+cosh u,;1,;-2+sinh ur)

Passo 4

Identificando o tipo de quádrică. Na forma
(x-1)^2-tfrac(y-1)^22-(z+2)^2=1
há um coeficiente positivo e dois negativos. Isso caracteriza um hiperboloide de duas folhas, com eixo principal paralelo ao eixo x.

Passo 5

Encontrando a reta tangente à curva em z=−2 (ou seja,
r_3) no ponto θ=π. Primeiro r_3(π) dá
$$r_3(π)=(1+\cos π,;1+\sqrt2\sin π,;-2)=(0,1,-2).
r3(π)=(1+cos π,;1+raiz2sin π,;-2)=(0,1,-2) r_3’(θ)=(-\sin θ,;\sqrt2\cos θ,;0),$$
em θ=π:
r3'(θ)=(-sin θ,;raiz2cos θ,;0),
Logo a reta tangente é
a partir de (0,1,-2) com direção (0,−√2,0).

Resposta

a) Centro: (1,1,−2). Curvas de interseção:
– x=1: (y-1)^2/2-(z+2)^2=1 (hipérbole).
– y=1: (x-1)^2-(z+2)^2=1 (hipérbole).
– z=−2: (x-1)^2+(y-1)^2/2=1 (elipse).
b) Parametrizações:
– r₁(t) = (1, 1+√2 cosh t, −2+ sinh t).
– r₂(u) = (1+ cosh u, 1, −2+ sinh u).
– r₃(θ) = (1+ cos θ, 1+√2 sin θ, −2).
c) A superfície é um hiperboloide de duas folhas, eixo paralelo a x.
d) Reta tangente em t=π:
r(s)=(0,1,-2)+s(0,-raiz2,0)

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