Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da área limitada pelas curvas y=2 x^2-x^3 e y=0 em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=2x^2 - x^3 e y=0 em torno do eixo x. Vamos usar o método dos discos, que exige encontrar: os pontos de interseção das curvas e montar a integral de volume.

Passo 2

Para achar onde a região toca o eixo x, resolvemos 2x^2 - x^3 = 0:
x^2(2 - x) = 0
Assim, x = 0 ou x = 2. A região está entre x=0 e x=2, pois para esses valores y>=0.

Passo 3

No método dos discos, o raio de cada disco é a distância vertical até a curva, ou seja R(x) = y = 2x^2 - x^3. Logo, o volume é
V = pi integral0^2 [R(x)]^2 ,dx = pi integral0^2 (2x^2 - x^3)^2 ,dx

Passo 4

Expandindo e integrando:
(2x^2 - x^3)^2 = 4x^4 - 4x^5 + x^6
integral0^2 (4x^4 - 4x^5 + x^6) ,dx = [4x^55 - 4x^66 + x^77]0^2 = 128105
Este valor é o resultado da integral sem o pi.

Resposta

dfrac128pi105

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