onde
e
é uma constante positiva.
(a) Determine
. Qual seu significado físico?
(b) Determine
. Qual seu significado físico?
© Mostre que
satisfaz a equação do calor
para uma certa constante
.
(d) Se
e
, use um computador para traçar o gráfico de
.
(e) Qual é o significado físico do termo
na expressão
onde
(a) Determine
(b) Determine
© Mostre que
(d) Se
(e) Qual é o significado físico do termo
Passo 1
O enunciado traz a distribuição de temperatura no subsolo dada por
com
e
. Vamos usar derivadas parciais, interpretação física de gradiente e da taxa de variação temporal, verificar que ela satisfaz a equação do calor e finalmente discutir um gráfico e o papel do termo
.
Passo 2
Precisamos calcular
Aplicando produto e cadeia em
Física:
é o gradiente de temperatura com a profundidade, indicando como a temperatura varia ao ir para baixo (fluxo de calor).
Passo 3
Agora calculamos
Derivando só o
Física:
é a taxa de variação temporal da temperatura em um ponto fixo de profundidade.
Passo 4
Para mostrar que
calculamos
Como
temos
Logo a equação do calor vale com
Passo 5
Para traçar
com
,
e
, podemos usar Python e matplotlib. Por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
temp = lambda x,t: 10*np.exp(-0.2*x)*np.sin(2*np.pi/365*t-0.2*x)
xs = np.linspace(0,20,200)
ts = [0,90,180,270]
plt.figure()
for t in ts:
plt.plot(xs, temp(xs,t), label=f't={t} d')
plt.xlabel('Profundidade x (m)')
plt.ylabel('T (°C)')
plt.legend()
plt.show()
Passo 6
O termo
dentro do
é um atraso de fase que cresce com a profundidade. Fisicamente, significa que a onda térmica se propaga para baixo com defasagem: quanto maior
, mais atrasada (e com menor amplitude) fica a oscilação de temperatura.
Resposta
a)
. É o gradiente de temperatura com a profundidade.
b) . É a taxa de variação temporal da temperatura.
c) Calcula-se e obtém-se
b)
c) Calcula-se
logo satisfaz a equação do calor com
d) Usando, por exemplo, o código Python acima, obtemos curvas de
e) O termo