T(x, t)=T0+T1 e^-lambda x sen(omega t-lambda x)
onde omega=2 pi / 365 e lambda é uma constante positiva.
(a) Determine partial T / partial x. Qual seu significado físico?
(b) Determine partial T / partial t. Qual seu significado físico?
© Mostre que T satisfaz a equação do calor Tt=k Tx x para uma certa constante k.
(d) Se lambda=0,2, T0=0 e T1=10, use um computador para traçar o gráfico de T(x, t).
(e) Qual é o significado físico do termo -lambda x na expressão sen(omega t-lambda x)?

Passo 1

O enunciado traz a distribuição de temperatura no subsolo dada por
T(x,t)=T0+T1e^-lambda xsin(omega t-lambda x)
com omega=2pi/365 e lambda>0. Vamos usar derivadas parciais, interpretação física de gradiente e da taxa de variação temporal, verificar que ela satisfaz a equação do calor e finalmente discutir um gráfico e o papel do termo -lambda x.

Passo 2

Precisamos calcular
Tx=partial Tpartial x
Aplicando produto e cadeia em T1e^-lambda xsin(omega t-lambda x), obtemos
Tx=-lambda T1e^-lambda xl[sin(omega t-lambda x)+cos(omega t-lambda x)r]
Física: Tx é o gradiente de temperatura com a profundidade, indicando como a temperatura varia ao ir para baixo (fluxo de calor).

Passo 3

Agora calculamos
Tt=partial Tpartial t
Derivando só o sin(omega t-lambda x) em relação a t, temos
Tt=omega T1e^-lambda xcos(omega t-lambda x)
Física: Tt é a taxa de variação temporal da temperatura em um ponto fixo de profundidade.

Passo 4

Para mostrar que
Tt=k,Txx
calculamos Txx=partial^2T/partial x^2. Seguindo produto e cadeia, chega-se a
Txx=2lambda^2T1e^-lambda xcos(omega t-lambda x)
Como
Tt=omega T1e^-lambda xcos(omega t-lambda x)
temos
Tt=omega2lambda^2,Txx
Logo a equação do calor vale com
k=omega2lambda^2

Passo 5

Para traçar T(x,t) com lambda=0,2, T0=0 e T1=10, podemos usar Python e matplotlib. Por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

temp = lambda x,t: 10*np.exp(-0.2*x)*np.sin(2*np.pi/365*t-0.2*x)
xs = np.linspace(0,20,200)
ts = [0,90,180,270]
plt.figure()
for t in ts:
    plt.plot(xs, temp(xs,t), label=f't={t} d')
plt.xlabel('Profundidade x (m)')
plt.ylabel('T (°C)')
plt.legend()
plt.show()

Passo 6

O termo -lambda x dentro do sin(omega t-lambda x) é um atraso de fase que cresce com a profundidade. Fisicamente, significa que a onda térmica se propaga para baixo com defasagem: quanto maior x, mais atrasada (e com menor amplitude) fica a oscilação de temperatura.

Resposta

a) Tx=-lambda T1e^-lambda x[sin(omega t-lambda x)+cos(omega t-lambda x)]. É o gradiente de temperatura com a profundidade.
b) Tt=omega T1e^-lambda xcos(omega t-lambda x). É a taxa de variação temporal da temperatura.
c) Calcula-se Txx=2lambda^2T1e^-lambda xcos(omega t-lambda x) e obtém-se
Tt=omega2lambda^2Txx,
logo satisfaz a equação do calor com k=omega/(2lambda^2).
d) Usando, por exemplo, o código Python acima, obtemos curvas de T(x,t) para várias profundidades e instantes.
e) O termo -lambda x é a defasagem de fase da onda térmica com a profundidade, indicando atraso na oscilação conforme se desce no subsolo.

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