Discuta a continuidade das funções abaixo:
f(x, y)=lllx^3x^2+y^2 & , se & (x, y) neq(0,0), 0 & , se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para a gente discutir a continuidade dessa função de duas variáveis que foi dada. A função é definida de duas maneiras: uma quando e outra quando . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em todos os pontos do seu domínio e como verificar isso, especialmente no ponto onde a definição muda, que aqui é .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade de uma função de duas variáveis. Uma função lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Isso significa que não tem “saltos” ou “buracos” na função naquele ponto.

Passo 3

Vamos analisar a continuidade em pontos diferentes de f(x, y) = x^3x^2 + y^2 . Para , a função é dada por:
Aqui, o denominador nunca é zero porque não é . Isso significa que a função é composta por polinômios no numerador e no denominador, e como o denominador nunca zera, a função é contínua em todos esses pontos.

Passo 4

Agora, o ponto crítico é lim(x, y) to (0, 0) x^3x^2 + y^2 = f(0, 0) = 0 . Precisamos verificar se:
f(r, theta) = (r cos theta)^3(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^3 cos^3 thetar^2 = r cos^3 theta
Para isso, uma boa técnica é usar coordenadas polares, onde limr to 0 r cos^3 theta = 0 e . Substituindo na função:
Agora, ao fazer :
Independente do valor de , o limite é 0.

Passo 5

Como o limite quando da função é igual a , a função é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do .

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