Discuta a continuidade das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para a gente discutir a continuidade dessa função de duas variáveis que foi dada. A função é definida de duas maneiras: uma quando
e outra quando
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em todos os pontos do seu domínio e como verificar isso, especialmente no ponto onde a definição muda, que aqui é
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade de uma função de duas variáveis. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Isso significa que não tem “saltos” ou “buracos” na função naquele ponto.
Passo 3
Vamos analisar a continuidade em pontos diferentes de
. Para
, a função é dada por:
Aqui, o denominador
nunca é zero porque
não é
. Isso significa que a função é composta por polinômios no numerador e no denominador, e como o denominador nunca zera, a função é contínua em todos esses pontos.
Passo 4
Agora, o ponto crítico é
. Precisamos verificar se:
Para isso, uma boa técnica é usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Agora, ao fazer
:
Independente do valor de
, o limite é 0.
Passo 5
Como o limite quando
da função
é igual a
, a função é contínua no ponto
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do
.