Calcule o comprimento de arco da curva y=ln x-x^28 para 1 <= x <= 2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y=ln x−x^2/8 no intervalo 1≤x≤2. Isso envolve o conteúdo de comprimento de arco de funções y=f(x), para o qual precisamos da derivada f’(x) e da fórmula L=∫_ab√{1+[f’(x)]2}dx.

Passo 2

Calculamos a derivada da função:
Derivando y=ln x−x^2/8 temos
y'=ddx(ln x)-ddxl(x^28r)=1x-x4

Passo 3

Montamos o integral de comprimento de arco:
L=integral1^2raiz1+(y')^2,dx=integral1^2raiz1+l(1x-x4r)^2,dx

Passo 4

Simplificamos o radicando:
1+l(1x-x4r)^2=1+1x^2-12+x^216=x^4+8x^2+1616x^2=(x^2+4)^216x^2
Logo
raiz1+(y')^2=x^2+44x=x4+1x

Passo 5

O integral fica então simples:
L=integral1^2l(x4+1xr)dx=l[x^28+ln xr]1^2=l(48+ln2r)-l(18+0r)=ln2+38

Resposta

ln2+tfrac38

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