Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y=raizx, y=0, e x=4 em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região no plano xy limitada por y=raizx, y=0 e x=4 em torno do eixo x. O conteúdo usado é o método dos discos, que nos dá a fórmula
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx,
onde f(x) é a função que descreve a fronteira da região acima do eixo x.

Passo 2

Identificamos que a curva é y=f(x)=raizx, o eixo de rotação é x e a região vai de x=a=0 até x=b=4. Como y>=0, usamos discos de raio f(x).

Passo 3

Substituindo na fórmula dos discos, obtemos
V = pi integral0^4 (raizx)^2 , dx

Passo 4

Simplificamos o integrando e integramos:
(raizx)^2 = x,
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V = pi integral0^4 x , dx = pi [ x^22 ]0^4

Passo 5

Calculando a integral definida:
[ x^22 ]0^4 = 4^22 - 0 = 162 = 8
Portanto
V = pi cdot 8 = 8pi

Resposta

8pi

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