Quais das propriedades básicas reflexidade, simetria, antissimetria, transitividade valem para cada uma das relações abaixo, definidas no conjunto dos números naturais?
(b)
se
divide
;
(b)
Passo 1
O enunciado define a relação
no conjunto dos números naturais
por
Precisamos verificar, usando as definições formais, se essa relação é reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva.
Passo 2
Reflexividade exige que para todo
tenhamos
, ou seja,
.
Como sempre existe um inteiro tal que
, concluímos que
para todo
.
Logo, a relação é reflexiva.
Como sempre existe um inteiro
Logo, a relação é reflexiva.
Passo 3
Simetria exige que, sempre que
(isto é,
), tenhamos também
(isto é,
).
Basta um contraexemplo: mas não vale
.
Portanto, a relação não é simétrica.
Basta um contraexemplo:
Portanto, a relação não é simétrica.
Passo 4
Antissimetria exige que, se
e
ao mesmo tempo, então
.
Suponha e
. Então existem inteiros
tais que
Suponha
Substituindo
na segunda equação vem
, ou seja,
. Como
, segue
e portanto
. Logo
.
Isso mostra que a relação é antissimétrica.
Isso mostra que a relação é antissimétrica.
Passo 5
Transitividade exige que, se
e
, então
.
De e
segue que existem inteiros
tais que
e
. Então
De
logo
.
Portanto, a relação é transitiva.
Portanto, a relação é transitiva.
Resposta
Reflexiva: sim
Simétrica: não
Antissimétrica: sim
Transitiva: sim
Simétrica: não
Antissimétrica: sim
Transitiva: sim