Quais das propriedades básicas reflexidade, simetria, antissimetria, transitividade valem para cada uma das relações abaixo, definidas no conjunto dos números naturais?
(b) n sim m se n divide m;

Passo 1

O enunciado define a relação sim no conjunto dos números naturais N por
nsim mse, e somente se, nmid m
Precisamos verificar, usando as definições formais, se essa relação é reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva.

Passo 2

Reflexividade exige que para todo ninN tenhamos nsim n, ou seja, nmid n.
Como sempre existe um inteiro k=1 tal que n = 1cdot n, concluímos que nmid n para todo n.
Logo, a relação é reflexiva.

Passo 3

Simetria exige que, sempre que nsim m (isto é, nmid m), tenhamos também msim n (isto é, mmid n).
Basta um contraexemplo: 2mid4 mas não vale 4mid2.
Portanto, a relação não é simétrica.

Passo 4

Antissimetria exige que, se nsim m e msim n ao mesmo tempo, então n = m.
Suponha nmid m e mmid n. Então existem inteiros a,b tais que
m = a,n e n = b,m
Substituindo m na segunda equação vem n = b,(a,n), ou seja, (ab-1)n=0. Como n>0, segue ab=1 e portanto a=b=1. Logo m=n.
Isso mostra que a relação é antissimétrica.

Passo 5

Transitividade exige que, se nsim m e msim p, então nsim p.
De nmid m e mmid p segue que existem inteiros a,b tais que m = a,n e p = b,m. Então
p = b,(a,n) = (ba),n,
logo nmid p.
Portanto, a relação é transitiva.

Resposta

Reflexiva: sim
Simétrica: não
Antissimétrica: sim
Transitiva: sim

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