Questão 2: (2,5 pontos)
Seja o campo vetorial F: R^2 R^2 dado por F(x, y)=(-y, x). Seja c a curva dada por 4 x^2+y^2=4 orientada no sentido anti-horário. positivo
(a) (1,5 ponto) A partir da definição de integral de linha, calcule ointc F cdot d r.
(b) (1,0 ponto) Utilizando o teorema de Green, calcule ointc F+d r.

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial
F(x,y)=(-y,x)
e a curva c dada por
4x^2+y^2=4
orientada no sentido anti-horário.
(a) pede para calcular ointc Fcdot dr usando a definição de integral de linha.
(b) pede o mesmo integral usando o teorema de Green.

Passo 2

Para a parte (a) parametrizamos a elipse por
x(t)=cos(t), y(t)=2sin(t), tin[0,2pi]
Então
dr=(dx,dy)=(-sin(t),2cos(t)),dt

Passo 3

Calculamos
F(x(t),y(t)) = l(-y(t),,x(t)r)=l(-2sin(t),,cos(t)r)
e
Fcdot dr = (-2sin(t))l(-sin(t)r) + cos(t),l(2cos(t)r) =2sin^2(t)+2cos^2(t)=2
Logo
ointc Fcdot dr = integral0^2pi2,dt = 4pi

Passo 4

Para a parte (b) aplicamos o teorema de Green. Escrevemos
P(x,y)=-y, Q(x,y)=x,
de modo que
ointc P,dx+Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 5

Calculamos as derivadas parciais
partial Qpartial x=1, partial Ppartial y=-1,
logo o integrando é 1-(-1)=2. Assim
ointc Fcdot dr = 2integral duplaD dA = 2cdotÁrea(D) Á
A região D é a elipse x^2/1 + y^2/4<=1, cuja área é picdot1cdot2=2pi. Portanto
ointc Fcdot dr = 2cdot2pi = 4pi

Resposta

(a) ,4pi.\n(b) ,4pi.

Exercícios relacionados