Questão 2: (2,5 pontos)
Seja o campo vetorial
dado por
. Seja
a curva dada por
orientada no sentido anti-horário.
positivo
(a) (1,5 ponto) A partir da definição de integral de linha, calcule
.
(b) (1,0 ponto) Utilizando o teorema de Green, calcule
.
Seja o campo vetorial
(a) (1,5 ponto) A partir da definição de integral de linha, calcule
(b) (1,0 ponto) Utilizando o teorema de Green, calcule
Passo 1
O enunciado define o campo vetorial
e a curva
dada por
orientada no sentido anti-horário.
(a) pede para calcular usando a definição de integral de linha.
(b) pede o mesmo integral usando o teorema de Green.
(a) pede para calcular
(b) pede o mesmo integral usando o teorema de Green.
Passo 2
Para a parte (a) parametrizamos a elipse por
Então
Passo 3
Calculamos
e
Logo
Passo 4
Para a parte (b) aplicamos o teorema de Green. Escrevemos
de modo que
Passo 5
Calculamos as derivadas parciais
logo o integrando é
. Assim
A região
é a elipse
, cuja área é
. Portanto
Resposta
(a)
.\n(b)
.