Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y=sin x, y=0, x=0, e x=pi em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=sin x, y=0, x=0 e x=pi em torno do eixo x. Aqui vamos usar o método dos discos, em que cada seção perpendicular ao eixo x é um círculo de raio y=sin x. A fórmula geral é
V = pi integrala^b l[f(x)r]^2,dx

Passo 2

Aplicando essa ideia, o volume fica
V = pi integral0^pi l(sin xr)^2 ,dx

Passo 3

Para calcular integral0^pi sin^2x,dx, usamos a identidade
sin^2x = 1 - cos(2x)2
Logo,
integral0^pi sin^2x,dx = integral0^pi 1 - cos(2x)2,dx = 12l[x - tfrac12sin(2x)r]0^pi = 12l(pi - 0r) = pi2

Passo 4

Substituindo esse resultado em V = pi integral0^pi sin^2x,dx, obtém-se
V = pi cdot pi2 = pi^22

Resposta

pi^22

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