Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y=e^x, y=0, x=0, e x=1 em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao rotacionar em torno do eixo y a região limitada por y=e^x, y=0, x=0 e x=1. O conteúdo é cálculo de volumes por rotação, e vamos usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Pelo método das cascas cilíndricas, cada fatia vertical em x produz uma casca de raio x, altura e^x-0 e espessura ,dx. A fórmula do volume é
V = 2pi integrala^b (raio)(a<ura),dx

Passo 3

No nosso caso a=0, b=1, raio =x e altura =e^x. Logo
V = 2pi integral0^1 x,e^x,dx

Passo 4

Para calcular integral0^1 x,e^x,dx usamos integração por partes com u=x, dv=e^xdx, de onde du=dx e v=e^x. Assim,
integral0^1 x,e^x,dx = l[x,e^xr]0^1 - integral0^1 e^x,dx = l(e - 0r) - l(e - 1r) = 1
Portanto
V = 2pi cdot 1 = 2pi

Resposta

O volume do sólido é 2pi.

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