Qual das funções abaixo é diferenciável (em todos os pontos do domínio)? Por quê?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais das funções
são diferenciáveis em todos os pontos de seus respectivos domínios. Vamos usar o fato de que soma, produto, quociente (quando o denominador não se anula), funções trigonométricas e logaritmo são diferenciáveis onde bem definidas.
Passo 2
Analisando
:
- A função interna
é quociente de polinômios e o denominador nunca zera para . - A função
é diferenciável para todo . - Soma de funções diferenciáveis é diferenciável.
Logoé diferenciável em todo .
Passo 3
Analisando
:
É polinômio em . Polinômios são diferenciáveis em todo
.
É polinômio em
Passo 4
Analisando
o domínio é
Trata-se de quociente de polinômios com denominador não nulo no domínio. Logo
é diferenciável em cada ponto onde está definida.
Passo 5
Analisando
a função interna
é sempre positiva, logo o logaritmo está bem definido e é diferenciável para todo
.
Passo 6
Em cada caso temos apenas composições ou operações entre funções elementares (polinômios, quocientes com denominador não nulo,
,
), todas diferenciáveis onde definidas. Portanto todas as funções listadas são diferenciáveis em todos os pontos de seus domínios.
Resposta
(a), (b), (c) e (d) são diferenciáveis em todos os pontos de seus respectivos domínios.