Qual das funções abaixo é diferenciável (em todos os pontos do domínio)? Por quê?
a) f(x, y, z)=sen(x y+z1+z^2)+2
b) p(x, y, z)=x^3 y z+x y^2+x+y+2 z-1
c) g(x, y)=x^2+y 2x^2-y^2
d) ln (x^2+y^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das funções
(a);f(x,y,z)=sen!l(xy+z1+z^2r)+2, (b);p(x,y,z)=x^3yz + xy^2+x+y+2z-1,
(c);g(x,y)=x^2+y^2,x^2-y^2,, (d);h(x,y)=lnl(x^2+y^2+1r)
são diferenciáveis em todos os pontos de seus respectivos domínios. Vamos usar o fato de que soma, produto, quociente (quando o denominador não se anula), funções trigonométricas e logaritmo são diferenciáveis onde bem definidas.

Passo 2

Analisando f(x,y,z)=sen!l((xy+z)/(1+z^2)r)+2:
  1. A função interna
    ,(x,y,z)mapsto (xy+z)/(1+z^2) é quociente de polinômios e o denominador 1+z^2 nunca zera para zinR.
  2. A função sen(u) é diferenciável para todo uinR.
  3. Soma de funções diferenciáveis é diferenciável.
    Logo f é diferenciável em todo R^3.

Passo 3

Analisando p(x,y,z)=x^3yz + xy^2+x+y+2z-1:
É polinômio em (x,y,z). Polinômios são diferenciáveis em todo R^3.

Passo 4

Analisando
g(x,y)=x^2+y^2x^2-y^2,
o domínio é
(x,y)inR^2mid x^2-y^2neq 0
Trata-se de quociente de polinômios com denominador não nulo no domínio. Logo g é diferenciável em cada ponto onde está definida.

Passo 5

Analisando
h(x,y)=lnl(x^2+y^2+1r),
a função interna x^2+y^2+1 é sempre positiva, logo o logaritmo está bem definido e é diferenciável para todo (x,y)inR^2.

Passo 6

Em cada caso temos apenas composições ou operações entre funções elementares (polinômios, quocientes com denominador não nulo, sen, ln), todas diferenciáveis onde definidas. Portanto todas as funções listadas são diferenciáveis em todos os pontos de seus domínios.

Resposta

(a), (b), (c) e (d) são diferenciáveis em todos os pontos de seus respectivos domínios.

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