Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio
.
(a) Encontre a relação entre a área
do derramamento e o raio
.
(b) Se o raio cresce a uma taxa constante de 3 metros por minuto, com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o seu raio for de 30 metros?
(c) Se a área cresce a uma velocidade constante de 10 metros quadrados por minuto, com que velocidade o raio do derramamento está crescendo quando a área do derramamento for de 25 metros quadrados?
(a) Encontre a relação entre a área
(b) Se o raio cresce a uma taxa constante de 3 metros por minuto, com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o seu raio for de 30 metros?
(c) Se a área cresce a uma velocidade constante de 10 metros quadrados por minuto, com que velocidade o raio do derramamento está crescendo quando a área do derramamento for de 25 metros quadrados?
Passo 1
O enunciado trata de um derramamento de óleo que assume forma circular de raio
. O conteúdo é taxa de variação relacionada (related rates) aplicado à área de um círculo. Vamos precisar da fórmula da área de um círculo e da regra da cadeia para derivar em relação ao tempo.
Passo 2
A relação entre a área
e o raio
vem da fórmula da área de um círculo. Logo,
Passo 3
Para achar a velocidade de variação da área, diferenciamos ambos os lados de
em relação ao tempo
. Pela regra da cadeia,
(a) Já respondido no passo 2.
Passo 4
(b) Como o enunciado dá
metros por minuto e quer
quando
, basta substituir na expressão:
Portanto,
metros quadrados por minuto.
Passo 5
(c) Agora nos dão
metros quadrados por minuto e pedem
quando
. Primeiro, achamos o respectivo
usando
:
Em seguida, da fórmula
, isolamos
:
Resposta
(a)
.
(b) m²/min.
(c) m/min.
(b)
(c)