Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio r.
(a) Encontre a relação entre a área A do derramamento e o raio r.
(b) Se o raio cresce a uma taxa constante de 3 metros por minuto, com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o seu raio for de 30 metros?
(c) Se a área cresce a uma velocidade constante de 10 metros quadrados por minuto, com que velocidade o raio do derramamento está crescendo quando a área do derramamento for de 25 metros quadrados?

Passo 1

O enunciado trata de um derramamento de óleo que assume forma circular de raio r. O conteúdo é taxa de variação relacionada (related rates) aplicado à área de um círculo. Vamos precisar da fórmula da área de um círculo e da regra da cadeia para derivar em relação ao tempo.

Passo 2

A relação entre a área A e o raio r vem da fórmula da área de um círculo. Logo,
A = pi r^2

Passo 3

Para achar a velocidade de variação da área, diferenciamos ambos os lados de A=pi r^2 em relação ao tempo t. Pela regra da cadeia,
dAdt = 2pi r ,drdt
(a) Já respondido no passo 2.

Passo 4

(b) Como o enunciado dá dfracdrdt=3 metros por minuto e quer dfracdAdt quando r=30, basta substituir na expressão:
dAdt = 2pi,(30),(3) = 180pi
Portanto, dfracdAdt=180pi metros quadrados por minuto.

Passo 5

(c) Agora nos dão dfracdAdt=10 metros quadrados por minuto e pedem dfracdrdt quando A=25. Primeiro, achamos o respectivo r usando A=pi r^2:
25 = pi r^2 Longrightarrow r = raiz25pi = 5raizpi
Em seguida, da fórmula dfracdAdt = 2pi r,dfracdrdt, isolamos dfracdrdt:
drdt = dAdt2pi r = 102pi ,l(tfrac5raizpir) = 1010pi/raizpi = raizpipi = 1raizpi

Resposta

(a) A = pi r^2.
(b) dfracdAdt = 180pi m²/min.
(c) dfracdrdt = dfrac1raizpi m/min.

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