Encontre o volume do sólido cuja base é um triângulo com vértices em (0,0),(1,0), e (0,1), e cujas secções transversais perpendiculares ao eixo y são semicírculos.

Passo 1

O enunciado descreve um sólido cuja base no plano xy é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1), e cujas secções transversais perpendiculares ao eixo y são semicírculos. O conteúdo aqui é o método dos cortes (ou seções) para volume: vamos encontrar a área da secção em função de y e integrar de y=0 até y=1.

Passo 2

Para um valor fixo de yin[0,1], a base do triângulo intersecta a reta y=const num segmento de x=0 até x=1-y. Esse segmento é o diâmetro do semicírculo da secção. Logo o diâmetro é
d(y)=1-y
e o raio é
r(y)=d(y)2=1-y2
A área do semicírculo vale metade da área de um círculo de raio r(y), ou seja,
A(y)=12,pil(r(y)r)^2 =12,pi(1-y2)^2 =pi,(1-y)^28

Passo 3

O volume do sólido é a integral da área A(y) ao longo de y de 0 a 1:
V=integral0^1A(y),dy =integral0^1pi,(1-y)^28,dy =pi8integral0^1(1-y)^2,dy
Calculando a integral,
integral0^1(1-y)^2,dy =[-(1-y)^33]0^1 =13
Portanto
V=pi8cdot13 =pi24

Resposta

pi24

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