Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
, pelo método que achar mais conveniente.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido que a gente forma girando a região $ R $ em torno do eixo $ x $. A gente vai usar cálculo, especificamente o método dos discos ou anéis, que são técnicas para encontrar volumes por rotação. Precisamos analisar as diferentes partes da função que definem a região $ R $ e calcular o volume em cada trecho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as diferentes partes da região $ R $:
- De $ x = -4 $ até $ x = 0 $, a função é $ y = \frac{x}{4} + 1 $.
- De $ x = 0 $ até $ x = 1 $, a função é $ y = \sqrt{1 - x^2} $ (que é parte de um círculo).
- De $ x = 1 $ até $ x = 4 $, a função é $ y = 0 $.
Como vamos girar em torno do eixo $ x $, o método dos discos é adequado. Esse método envolve integrar a área de círculos infinitamente pequenos ao longo do eixo de rotação.
Passo 3
Vamos calcular o volume em cada intervalo separadamente.
Intervalo 1: $ -4 \leq x < 0 $ com $ y = \frac{x}{4} + 1 $
A fórmula do volume pelo método dos discos é:
Aqui, $ f(x) = \frac{x}{4} + 1 $, então:
Vamos expandir o quadrado:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para $ x = 0 $:
Para $ x = 0 $:
Para $ x = -4 $:
Então:
Passo 4
Intervalo 2: $ 0 \leq x < 1 $ com $ y = \sqrt{1 - x^2} $
Esta é a parte de um círculo com raio 1. Aplicando a mesma fórmula:
Integrando:
Passo 5
Intervalo 3: $ 1 \leq x \leq 4 $ com $ y = 0 $
Aqui, a função é zero, ou seja, não há área para girar. Assim, o volume neste intervalo é:
Resposta
Somando os volumes dos três intervalos:
Então, o volume do sólido é $ 2\pi $ unidades cúbicas.