Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x, pelo método que achar mais conveniente.
R:ccc y=x4+1 & se & -4 <= x<0 y=raiz1-x^2 & se & 0 <= x<1 y=0 & se & 1 <= x <= 4

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido que a gente forma girando a região $ R $ em torno do eixo $ x $. A gente vai usar cálculo, especificamente o método dos discos ou anéis, que são técnicas para encontrar volumes por rotação. Precisamos analisar as diferentes partes da função que definem a região $ R $ e calcular o volume em cada trecho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes partes da região $ R $:
  1. De $ x = -4 $ até $ x = 0 $, a função é $ y = \frac{x}{4} + 1 $.
  2. De $ x = 0 $ até $ x = 1 $, a função é $ y = \sqrt{1 - x^2} $ (que é parte de um círculo).
  3. De $ x = 1 $ até $ x = 4 $, a função é $ y = 0 $.
Como vamos girar em torno do eixo $ x $, o método dos discos é adequado. Esse método envolve integrar a área de círculos infinitamente pequenos ao longo do eixo de rotação.

Passo 3

Vamos calcular o volume em cada intervalo separadamente.
Intervalo 1: $ -4 \leq x < 0 $ com $ y = \frac{x}{4} + 1 $
A fórmula do volume pelo método dos discos é:
-4 <= x < 0
Aqui, $ f(x) = \frac{x}{4} + 1 $, então:
y = x4 + 1
Vamos expandir o quadrado:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Integrando termo a termo:
f(x) = x4 + 1
Calculando nos limites:
Para $ x = 0 $:
V1 = pi integral-4^0 (x4 + 1)^2 , dx
Para $ x = -4 $:
(x4 + 1)^2 = x^216 + x2 + 1
Então:
V1 = pi [ x^348 + x^24 + x ]-4^0

Passo 4

Intervalo 2: $ 0 \leq x < 1 $ com $ y = \sqrt{1 - x^2} $
Esta é a parte de um círculo com raio 1. Aplicando a mesma fórmula:
0 <= x < 1
Integrando:
y = raiz1 - x^2

Passo 5

Intervalo 3: $ 1 \leq x \leq 4 $ com $ y = 0 $
Aqui, a função é zero, ou seja, não há área para girar. Assim, o volume neste intervalo é:
1 <= x <= 4

Resposta

Somando os volumes dos três intervalos:
Vtotal = V1 + V2 + V3 = 43pi + 23pi + 0 = 2pi
Então, o volume do sólido é $ 2\pi $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados