Para quais valores de
a curva
tem pontos de inflexão?
Passo 1
O enunciado pergunta para quais valores de
a curva
apresenta pontos de inflexão. Isso envolve estudar a concavidade da curva analisando derivadas segunda e terceira.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas necessárias. A primeira derivada é
. A segunda derivada é
. A terceira derivada é
.
Passo 3
Um ponto de inflexão ocorre onde
e
. Assim, precisamos resolver
e verificar que nos pontos solução
Passo 4
Se
a equação fica
, que não tem solução real. Logo, para
não há pontos de inflexão.
Passo 5
Se
, defina
. Quando
,
; quando
,
. Pelo Teorema de Bolzano existe exatamente uma raiz
. Como
, essa raiz satisfaz
, portanto
e
. Logo há um ponto de inflexão único.
Passo 6
Se
, ainda com
, temos
. A derivada
zera em
Passo 7
Para que existam raízes é necessário
, isto é
ou
, o que equivale a
. Nessas condições existem duas raízes
, ambas diferentes de 1, e em cada uma
. Assim, para
há dois pontos de inflexão.
Passo 8
No caso
a única raiz é
, mas então
e não há mudança de concavidade. Para
não surgem raízes e, portanto, não há pontos de inflexão.
Resposta
A curva tem pontos de inflexão se, e somente se,
ou
.