Para quais valores de c a curva y=c x^3+e^x tem pontos de inflexão?

Passo 1

O enunciado pergunta para quais valores de c a curva y = c x^3 + e^x apresenta pontos de inflexão. Isso envolve estudar a concavidade da curva analisando derivadas segunda e terceira.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas necessárias. A primeira derivada é y' = 3c x^2 + e^x. A segunda derivada é y'' = 6c x + e^x. A terceira derivada é y''' = 6c + e^x.

Passo 3

Um ponto de inflexão ocorre onde y''(x0) = 0 e y'''(x0) neq 0. Assim, precisamos resolver
6c,x + e^x = 0
e verificar que nos pontos solução x0 neq 1, pois se x0=1 então y'''(1)=0 e não haveria mudança de concavidade.

Passo 4

Se c=0 a equação fica e^x=0, que não tem solução real. Logo, para c=0 não há pontos de inflexão.

Passo 5

Se c>0, defina h(x)=6c,x+e^x. Quando xto-infty, h(x)to-infty; quando xto+infty, h(x)to+infty. Pelo Teorema de Bolzano existe exatamente uma raiz x0. Como h(0)=1>0, essa raiz satisfaz x0<0, portanto x0neq1 e y'''(x0)=6c(1-x0)neq0. Logo há um ponto de inflexão único.

Passo 6

Se c<0, ainda com h(x)=6c,x+e^x, temos h(pminfty)to+infty. A derivada
h'(x)=e^x+6c
zera em xc=ln(-6c). O valor mínimo é
h(xc)=-6c+6cln(-6c)=6c(ln(-6c)-1)

Passo 7

Para que existam raízes é necessário h(xc)<0, isto é ln(-6c)>1 ou -6c>e, o que equivale a c< -tfrace6. Nessas condições existem duas raízes x1<1, ambas diferentes de 1, e em cada uma y'''=6c(1-xi)neq0. Assim, para c< -tfrace6 há dois pontos de inflexão.

Passo 8

No caso c=-tfrace6 a única raiz é x=1, mas então y'''(1)=6c+e^1=0 e não há mudança de concavidade. Para -tfrace6 não surgem raízes e, portanto, não há pontos de inflexão.

Resposta

A curva tem pontos de inflexão se, e somente se, c>0 ou c< -tfrace6.

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