Resolva as integrais a seguir pelo método de frações parciais.
integral x^4+1x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O objetivo é calcular a integral
integral x^4+1x,(x^2+1)^2,dx
usando frações parciais. Vamos precisar do método de decomposição de uma função racional em somas de termos mais simples.

Passo 2

Primeiro escrevemos
x^4+1x,(x^2+1)^2=Ax+Bx+Cx^2+1+Dx+E(x^2+1)^2
Multiplicando ambos os lados por x(x^2+1)^2 e igualando coeficientes obtemos o sistema:
A+B=1C=02A+B+D=0C+E=0A=1,
Dessa forma encontra-se A=1, B=0, C=0, D=-2, E=0.

Passo 3

Substituindo de volta, a integral vira
integrall(1x-2x(x^2+1)^2r)dx

Passo 4

A primeira parte é simples:
integral 1xdx=ln|x|+C1

Passo 5

Para a segunda parte fazemos u=x^2+1, então du=2x,dx e:
integral x(x^2+1)^2dx=12integral u^-2du=-12u+C2=-12(x^2+1)+C2
Multiplicando por -2) vem
-2integral x(x^2+1)^2dx=1x^2+1+widetilde C

Passo 6

Somando os resultados, obtemos
integral x^4+1x(x^2+1)^2dx=ln|x|+1x^2+1+C,

Resposta

ln|x|+dfrac1x^2+1+C

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