Um negociante tem as seguintes condições obrigações de pagamento com um banco:
  • R 20.000,00 vencíveis em 33 dias;
  • R \ 12.000,00$ vencíveis em 83 dias;
  • \mathrm{R} \ 100.000,00$ vencíveis em 114 dias.
Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema:
  • R \ 22.000,00$ em 60 dias;
  • R \ 50.000,00$ em 100 dias;
  • restante em 150 dias.
Sendo de 3% ao mês a taxa de juros compostos adotada pelo banco nestas operações, calcule o valor do pagamento restante adotando como data focal o momento atual (considerar mês comercial: 30 dias).

Passo 1

O enunciado apresenta três obrigações sob juros compostos de 3\% ao mês (mês comercial de 30 dias) e deseja reescalonar esses pagamentos. Para manter o valor presente (data focal: hoje), o somatório dos valores presentes das obrigações originais deve ser igual ao somatório dos valores presentes das novas obrigações. Usaremos a fórmula do valor presente
PV = \frac{F}{(1+i)^{t}}
onde F é o valor futuro, i=0,03 é a taxa mensal e t é o prazo em meses (dias/30).

Passo 2

Calculamos o valor presente das obrigações originais:
PV_1 = \frac{20000}{(1,03)^{33/30}},\quad PV_2 = \frac{12000}{(1,03)^{83/30}},\quad PV_3 = \frac{100000}{(1,03)^{114/30}}.
Numericamente, usando \ln(1,03)\approx0,0295588:
(1,03)^{33/30}\approx1,03309\implies PV_1\approx\frac{20000}{1,03309}=19356,9,
(1,03)^{83/30}\approx1,08498\implies PV_2\approx\frac{12000}{1,08498}=11063,4,
(1,03)^{114/30}\approx1,11890\implies PV_3\approx\frac{100000}{1,11890}=89360,0.
Somando,
PV_{\text{orig}}=PV_1+PV_2+PV_3\approx19356,9+11063,4+89360,0=119780,3.

Passo 3

A seguir, calculamos o valor presente dos dois primeiros pagamentos do novo esquema e obtemos o remanescente em valor presente:
PV_4 = \frac{22000}{(1,03)^{60/30}} = \frac{22000}{(1,03)^{2}} = \frac{22000}{1,0609} \approx20740,7,
PV_5 = \frac{50000}{(1,03)^{100/30}} = \frac{50000}{(1,03)^{3{,}3333}} \approx\frac{50000}{1,1035}=45306,0.
Logo, o valor presente a ser coberto pelo pagamento restante é
PV_{\text{rem}} = PV_{\text{orig}} - (PV_4+PV_5) \approx119780,3 - (20740,7+45306,0)=53733,6.

Passo 4

Esse valor presente remanescente será pago em 150 dias ( t=150/30=5 meses). Assim o valor futuro X satisfaz
PV_{\text{rem}} = \frac{X}{(1,03)^{5}} \quad\Longrightarrow\quad X = PV_{\text{rem}}\,(1,03)^{5}.
Como (1,03)^{5}\approx1,159274, temos
X \approx53733,6\times1,159274=62292,0.

Resposta

O valor do pagamento restante em 150 dias deve ser aproximadamente R$ 62.292,00.

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