Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que
1 <= x^2+y^2 <= 4 e y >= 0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que se obtém girando, em torno do eixo x, a região do plano definida por 1≤x²+y²≤4 e y≥0. O conteúdo é volume de revolução, e vamos usar o método dos discos/aros (washers) para integrar em relação a x.

Passo 2

Para cada x entre -2 e 2, a parte da região sobre esse x é um intervalo de y que, ao girar, gera um aro com raio externo R(x) e raio interno r(x). Em detalhe: o limite superior é sempre y=√(4−x²), então R(x)=√(4−x²). O limite inferior é y=√(1−x²) quando |x|≤1, e y=0 quando |x|>1, então r(x)=√(1−x²) para |x|≤1 e r(x)=0 para 1<|x|≤2.
Pelo método dos discos/aros, a área da secção transversal no ponto x é A(x)=π[R(x)²−r(x)²]. Logo o volume é
V=integral-2^2πl(R(x)^2-r(x)^2r),dx

Passo 3

Como R(x)²=4−x² e r(x)² é igual a (1−x²) em |x|≤1 e 0 em 1<|x|≤2, dividimos a integral em três partes:
V=πl(integral-2^-1(4-x^2),dx+integral-1^1l((4-x^2)-(1-x^2)r),dx+integral1^2(4-x^2),dxr)

Passo 4

Agora, calculemos cada trecho. Primeiro, para |x|>1 temos
integral1^2(4-x^2),dx=l[4x-tfracx^33r]1^2=l(8-tfrac83r)-(4-tfrac13)=tfrac53

Passo 5

Como o intervalo [-2,-1] dá o mesmo valor, a soma dos dois é 2·5/3=10/3. Para |x|≤1,
integral-1^1((4-x^2)-(1-x^2)),dx=integral-1^13,dx=3cdot2=6

Passo 6

Somando tudo dentro do parênteses: 10/3+6=10/3+18/3=28/3. Multiplicando por π, obtemos o volume final.
Portanto, o volume do sólido é (28/3)π.

Resposta

28pi3

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