Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que se obtém girando, em torno do eixo x, a região do plano definida por 1≤x²+y²≤4 e y≥0. O conteúdo é volume de revolução, e vamos usar o método dos discos/aros (washers) para integrar em relação a x.
Passo 2
Para cada x entre -2 e 2, a parte da região sobre esse x é um intervalo de y que, ao girar, gera um aro com raio externo R(x) e raio interno r(x). Em detalhe: o limite superior é sempre y=√(4−x²), então R(x)=√(4−x²). O limite inferior é y=√(1−x²) quando |x|≤1, e y=0 quando |x|>1, então r(x)=√(1−x²) para |x|≤1 e r(x)=0 para 1<|x|≤2.
Pelo método dos discos/aros, a área da secção transversal no ponto x é A(x)=π[R(x)²−r(x)²]. Logo o volume é
Pelo método dos discos/aros, a área da secção transversal no ponto x é A(x)=π[R(x)²−r(x)²]. Logo o volume é
Passo 3
Como R(x)²=4−x² e r(x)² é igual a (1−x²) em |x|≤1 e 0 em 1<|x|≤2, dividimos a integral em três partes:
Passo 4
Agora, calculemos cada trecho. Primeiro, para |x|>1 temos
Passo 5
Como o intervalo [-2,-1] dá o mesmo valor, a soma dos dois é 2·5/3=10/3. Para |x|≤1,
Passo 6
Somando tudo dentro do parênteses: 10/3+6=10/3+18/3=28/3. Multiplicando por π, obtemos o volume final.
Portanto, o volume do sólido é (28/3)π.
Portanto, o volume do sólido é (28/3)π.