Questão 1: Resolva as equações diferenciais, encontrando sua solução geral.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial (x–y–1)
x=(x+y+1)
y, usando que se trata de uma equação de primeira ordem na forma M(x,y)
dx+N(x,y)
dy=0 e vamos aproveitar o método de equação exata.
x=(x+y+1)
y, usando que se trata de uma equação de primeira ordem na forma M(x,y)
dx+N(x,y)
dy=0 e vamos aproveitar o método de equação exata.
Passo 2
Reescrevemos a equação em forma padrão:
Identificamos M(x,y)=x–y–1 e N(x,y)=−(x+y+1) e calculamos
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Para encontrar a função potencial Φ(x,y) tal que
integral em x de M dá
onde h(y) é uma função arbitrária de y.
Passo 4
Agora impomos que
Calculamos também
Igualando as duas expressões:
segue que
e então
Passo 5
Substituindo h(y) em Φ(x,y) obtemos a solução geral implícita:
que é a constante de integração final.