Questão 1: Resolva as equações diferenciais, encontrando sua solução geral.
(x-y-1) d x=(x+y+1) d y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial (x–y–1)
x=(x+y+1)
y, usando que se trata de uma equação de primeira ordem na forma M(x,y)
dx+N(x,y)
dy=0 e vamos aproveitar o método de equação exata.

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma padrão:
(x-y-1),dx-(x+y+1),dy=0
Identificamos M(x,y)=x–y–1 e N(x,y)=−(x+y+1) e calculamos
partial Mpartial y=-1, partial Npartial x=-1
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar a função potencial Φ(x,y) tal que
partial Φpartial x=M(x,y)
integral em x de M dá
Φ(x,y)=integral(x-y-1),dx=x^22-x y -x +h(y)
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Agora impomos que
partial Φpartial y=N(x,y)=- (x+y+1)
Calculamos também
partial Φpartial y=-x +h'(y)
Igualando as duas expressões:
-x +h'(y)=-x -y -1
segue que
h'(y)=-y -1
e então
h(y)=-y^22-y +C1 .

Passo 5

Substituindo h(y) em Φ(x,y) obtemos a solução geral implícita:
Φ(x,y)=x^22-x y -x -y^22-y=C
que é a constante de integração final.

Resposta

tfracx^22-x y -x -tfracy^22-y=C

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