Reparametrize a curva
r(t)=2 t i+(t-3 t) j+(5+4 t) k
a partir do ponto (2,1,5) na direção de t crescente.

Passo 1

Temos a curva r(t)=(2t,,t-3t,,5+4t)=(2t,,-2t,,5+4t) e queremos reparametrizá-la de modo que no parâmetro inicial (digamos u=0) o ponto seja (2,1,5).

Passo 2

Para isso, primeiro buscamos t0 tal que r(t0)=(2,1,5). Vamos igualar componente a componente:
2t0=2 implica t0=1.
Mas, para t0=1, a segunda componente de r(t0) é -2cdot1=-2, e não +1.
Como não existe valor de t0 que satisfaça simultaneamente todas as três igualdades, o ponto (2,1,5) não pertence à curva.

Passo 3

Portanto, não há como reparametrizar a curva partindo do ponto dado, pois ele não está sobre a curva.

Resposta

O ponto (2,1,5) não pertence à curva dada, logo não existe reparametrização iniciando nele.

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