Em cada um dos itens abaixo, esboce o conjunto e calcule a sua área:
(x, y): x^2 <= y <= raizx

Passo 1

Estamos lidando com a região do plano definida por x^2 <= y <= raizx. O conteúdo é área de regiões planas por integração entre curvas, e vamos precisar conhecer como determinar o intervalo de integração e aplicar a fórmula da área entre duas funções y=f(x) e y=g(x).

Passo 2

Primeiro, precisamos achar para quais valores de x faz sentido ter x^2 <= raizx. Como raizx exige x>=0, vamos resolver para x>=0:
Resolvendo

Passo 3

As raízes são x=0 e x=1. Testando intervalos em x>=0, vemos que só em [0,1] a desigualdade vale. Portanto, a região está entre x=0 e x=1.

Passo 4

Para esboçar, note que em [0,1] a curva y=x^2 é um “U” suave e y=raizx é uma curva côncava voltada para baixo, ambas se encontrando em (0,0) e (1,1). A região fica justamente entre essas duas curvas.

Passo 5

A área entre duas curvas y=raizx (acima) e y=x^2 (abaixo) para xin[0,1] é dada por
A = integral0^1l(raizx - x^2r),dx

Passo 6

Calculando a integral:
integral0^1raizx,dx = integral0^1 x^1/2,dx = l[tfrac23x^3/2r]0^1 = tfrac23,
integral0^1x^2,dx = l[tfrac13x^3r]0^1 = tfrac13,

Passo 7

Logo,
A = tfrac23 - tfrac13 = tfrac13

Resposta

dfrac13

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