Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pares ( x, y ) tais que
0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq \frac{x^{2}}{2}+1 e y \geq x^{2}-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de pontos (x,y) que satisfazem as três condições
0 \le x \le 2,\qquad 0 \le y \le \frac{x^{2}}{2}+1,\qquad y \ge x^{2}-1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • o intervalo para x é [0,2];
  • para cada x temos duas curvas que limitam y: uma superior y=\dfrac{x^{2}}{2}+1 e uma inferior y=x^{2}-1, além da restrição y\ge 0;
  • a região em y para cada x é a interseção do intervalo [0,\tfrac{x^{2}}{2}+1] com a condição y\ge x^{2}-1, ou seja y vai de \max\{0,x^{2}-1\} até \dfrac{x^{2}}{2}+1.
    O que o enunciado pede: calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo y.

Passo 2

Entender a forma da região no plano xy e onde ela muda de comportamento:
  • A curva y=x^{2}-1 é negativa para 0\le x<1 e vale zero em x=1. Isso significa que, por causa da condição y\ge 0, para 0\le x<1 o limite inferior efetivo é y=0.
  • Para 1\le x\le 2 temos x^{2}-1\ge 0, então o limite inferior passa a ser y=x^{2}-1.
  • As duas curvas y=\dfrac{x^{2}}{2}+1 e y=x^{2}-1 se intersectam quando
\frac{x^{2}}{2}+1 = x^{2}-1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^{2}}{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=4,
portanto a interseção relevante no intervalo dado é em x=2. Isso confirma que a região é bem definida para todo x\in[0,2], mas com altura em y dependente do intervalo de x.

Passo 3

Escolher o método de cálculo do volume (e justificar didaticamente):
  • Como o eixo de rotação é o eixo y (vertical) e a região está naturalmente descrita por x variando em [0,2], o método das cascas cilíndricas é o mais prático.
  • Fórmula das cascas cilíndricas: ao girar uma faixa vertical de largura dx localizada em x ao redor do eixo y, obtém-se uma casca cilíndrica aproximada cuja contribuição ao volume é
dV \approx (\text{circunferência})\times(\text{altura})\times(\text{espessura}) = 2\pi(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot dx.ê
  • Aqui o raio da casca é a distância do ponto ao eixo y, isto é \text{raio}=x. A altura da casca é o comprimento vertical do conjunto de y para aquele x, isto é \text{altura}=y_{\text{sup}}-y_{\text{inf}}.
  • Assim a fórmula do volume será
V = 2\pi\int_{x=a}^{x=b} x\bigl(y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x)\bigr)\,dx.
Vou aplicar isso com cuidado, observando que y_{\text{inf}}(x)=\max\{0,x^{2}-1\}, que é uma função peça por peça.

Passo 4

Determinar explicitamente a altura da casca (peça por peça):
  • Para 0\le x\le 1: temos x^{2}-1<0, então y_{\text{inf}}(x)=0. A altura é
\text{altura} = y_{\text{sup}}-0 = \frac{x^{2}}{2}+1.
  • Para 1\le x\le 2: temos x^{2}-1\ge 0, então y_{\text{inf}}(x)=x^{2}-1. A altura é
\text{altura} = \frac{x^{2}}{2}+1-\bigl(x^{2}-1\bigr)=2-\frac{x^{2}}{2}.
Portanto o integrando será diferente em [0,1] e em [1,2].

Passo 5

Montar a integral do volume usando cascas, com a decomposição em dois trechos:
V = 2\pi\left(\int_{0}^{1} x\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right)\,dx \;+\; \int_{1}^{2} x\left(2-\frac{x^{2}}{2}\right)\,dx\right).
Aqui cada termo é 2\pi vezes a integral da circunferência x vezes a altura correspondente.

Passo 6

Calcular a primeira integral passo a passo:
  • Expandir o integrando:
x\left(\frac{x^{2}}{2}+1\right)=\frac{x^{3}}{2}+x.
  • Calcular antiderivada termo a termo:
\int\left(\frac{x^{3}}{2}+x\right)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{2}}{2}.
  • Avaliar de 0 a 1:
\left.\left(\frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{0}^{1} = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{1+4}{8} = \frac{5}{8}.

Passo 7

Calcular a segunda integral passo a passo:
  • Expandir o integrando:
x\left(2-\frac{x^{2}}{2}\right)=2x-\frac{x^{3}}{2}.
  • Calcular antiderivada termo a termo:
\int\left(2x-\frac{x^{3}}{2}\right)\,dx = x^{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{4}}{4} = x^{2} - \frac{x^{4}}{8}.
  • Avaliar de 1 a 2:
\left.\left(x^{2} - \frac{x^{4}}{8}\right)\right|_{1}^{2} = \left(4 - \frac{16}{8}\right) - \left(1 - \frac{1}{8}\right) = (4-2) - \left(\frac{7}{8}\right) = 2 - \frac{7}{8} = \frac{9}{8}.

Passo 8

Somar as contribuições e multiplicar por 2\pi:
  • Soma das integrais internas:
\frac{5}{8} + \frac{9}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}.
  • Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi\cdot\frac{7}{4} = \frac{7}{2}\pi.
Numeração final: V=\dfrac{7\pi}{2}. Força aí — deu tudo certo com a divisão em duas partes por causa do limite y\ge 0.

Resposta

\dfrac{7\pi}{2}

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