Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pares ( x, y ) tais que 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq \frac{x^{2}}{2}+1 e y \geq x^{2}-1.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de pontos (x,y) que satisfazem as três condições
0 \le x \le 2,\qquad 0 \le y \le \frac{x^{2}}{2}+1,\qquad y \ge x^{2}-1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
o intervalo para x é [0,2];
para cada x temos duas curvas que limitam y: uma superior y=\dfrac{x^{2}}{2}+1 e uma inferior y=x^{2}-1, além da restrição y\ge 0;
a região em y para cada x é a interseção do intervalo [0,\tfrac{x^{2}}{2}+1] com a condição y\ge x^{2}-1, ou seja y vai de \max\{0,x^{2}-1\} até \dfrac{x^{2}}{2}+1.
O que o enunciado pede: calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo y.
Passo 2
Entender a forma da região no plano xy e onde ela muda de comportamento:
A curva y=x^{2}-1 é negativa para 0\le x<1 e vale zero em x=1. Isso significa que, por causa da condição y\ge 0, para 0\le x<1 o limite inferior efetivo é y=0.
Para 1\le x\le 2 temos x^{2}-1\ge 0, então o limite inferior passa a ser y=x^{2}-1.
As duas curvas y=\dfrac{x^{2}}{2}+1 e y=x^{2}-1 se intersectam quando
portanto a interseção relevante no intervalo dado é em x=2. Isso confirma que a região é bem definida para todo x\in[0,2], mas com altura em y dependente do intervalo de x.
Passo 3
Escolher o método de cálculo do volume (e justificar didaticamente):
Como o eixo de rotação é o eixo y (vertical) e a região está naturalmente descrita por x variando em [0,2], o método das cascas cilíndricas é o mais prático.
Fórmula das cascas cilíndricas: ao girar uma faixa vertical de largura dx localizada em x ao redor do eixo y, obtém-se uma casca cilíndrica aproximada cuja contribuição ao volume é
dV \approx (\text{circunferência})\times(\text{altura})\times(\text{espessura}) = 2\pi(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot dx.
Aqui o raio da casca é a distância do ponto ao eixo y, isto é \text{raio}=x. A altura da casca é o comprimento vertical do conjunto de y para aquele x, isto é \text{altura}=y_{\text{sup}}-y_{\text{inf}}.
Assim a fórmula do volume será
V = 2\pi\int_{x=a}^{x=b} x\bigl(y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x)\bigr)\,dx.
Vou aplicar isso com cuidado, observando que y_{\text{inf}}(x)=\max\{0,x^{2}-1\}, que é uma função peça por peça.
Passo 4
Determinar explicitamente a altura da casca (peça por peça):
Para 0\le x\le 1: temos x^{2}-1<0, então y_{\text{inf}}(x)=0. A altura é