Calcule o volume do sólido obtido por rotação, em torno do eixo
, da região plana delimitada pela hipociclóide
. (Escreva sua resposta aproximada, com erro
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pela hipociclóide $ x^{2/3} + y^{2/3} = 1 $ ao redor do eixo $ x $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método de discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a equação da hipociclóide $ x^{2/3} + y^{2/3} = 1 $. Vamos reescrever essa equação para encontrar $ y $ em função de $ x $, o que nos ajudará a montar a integral.
Passo 3
Isolando $ y $ na equação, temos:
Elevando ambos os lados à potência de $ 3/2 $ para resolver para $ y $:
Isso nos dá $ y $ em termos de $ x $.
Passo 4
Agora, vamos considerar o método dos discos para encontrar o volume. A fórmula geral para o volume $ V $ de um sólido de revolução em torno do eixo $ x $ é:
Onde $ f(x) $ é a função que descreve a curva, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração.
Passo 5
Precisamos determinar os limites de integração. Observando a hipociclóide $ x^{2/3} + y^{2/3} = 1 $, vemos que $ x $ varia de $ -1 $ a $ 1 $. Porém, pela simetria, podemos calcular de $ 0 $ a $ 1 $ e multiplicar por 2.
Passo 6
Substituindo $ f(x) $ na fórmula do volume:
Devido à simetria, simplificamos para:
Passo 7
Vamos expandir $ \left(1 - x{2/3}\right)3 $:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Agora, integremos termo a termo:
Substituindo esses valores na expressão do volume:
Passo 9
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente $ \frac{4\pi}{7} \approx 1,80 $ unidades cúbicas.