Calcule o volume do sólido obtido por rotação, em torno do eixo x, da região plana delimitada pela hipociclóide x^2 / 3+y^2 / 3=1. (Escreva sua resposta aproximada, com erro <= 0,01.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pela hipociclóide $ x^{2/3} + y^{2/3} = 1 $ ao redor do eixo $ x $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método de discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação da hipociclóide $ x^{2/3} + y^{2/3} = 1 $. Vamos reescrever essa equação para encontrar $ y $ em função de $ x $, o que nos ajudará a montar a integral.

Passo 3

Isolando $ y $ na equação, temos:
y
Elevando ambos os lados à potência de $ 3/2 $ para resolver para $ y $:
y^2/3 = 1 - x^2/3
Isso nos dá $ y $ em termos de $ x $.

Passo 4

Agora, vamos considerar o método dos discos para encontrar o volume. A fórmula geral para o volume $ V $ de um sólido de revolução em torno do eixo $ x $ é:
V
Onde $ f(x) $ é a função que descreve a curva, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração.

Passo 5

Precisamos determinar os limites de integração. Observando a hipociclóide $ x^{2/3} + y^{2/3} = 1 $, vemos que $ x $ varia de $ -1 $ a $ 1 $. Porém, pela simetria, podemos calcular de $ 0 $ a $ 1 $ e multiplicar por 2.

Passo 6

Substituindo $ f(x) $ na fórmula do volume:
f(x)
Devido à simetria, simplificamos para:
V = pi integral-1^1 ( (1 - x^2/3)^3/2 )^2 dx = pi integral-1^1 (1 - x^2/3)^3 dx

Passo 7

Vamos expandir $ \left(1 - x{2/3}\right)3 $:
(1 - x^2/3)^3
Portanto, a integral fica:
(1 - x^2/3)^3 = 1 - 3x^2/3 + 3x^4/3 - x^2

Passo 8

Agora, integremos termo a termo:
integral0^1 1 , dx = 1
integral0^1 x^2/3 , dx = 35
integral0^1 x^4/3 , dx = 37
integral0^1 x^2 , dx = 13
Substituindo esses valores na expressão do volume:
V = 2pi (1 - 3 cdot 35 + 3 cdot 37 - 13)

Passo 9

Calculando dentro dos parênteses:
1 - 95 + 97 - 13 = 105105 - 189105 + 135105 - 35105 = (105 - 189 + 135 - 35)105 = -(-105 + 135)105 = -(-105 + 135)105 = -105 + 135105 = 30105 = 27
Então:
V = 2pi cdot 27 = 4pi7

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente $ \frac{4\pi}{7} \approx 1,80 $ unidades cúbicas.

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