Determine d y / d x e d y / d t.
y=tx^2+xt

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar as taxas de variação de uma função de duas variáveis: y = dfractx^2 + dfracxt. O conteúdo aqui é derivada parcial (ou seja, calcular d y/ d x mantendo t constante e d y/ d t mantendo x constante). Vamos usar as regras de derivação de potências e de constante multiplicada.

Passo 2

Para achar dfracd yd x, tratamos t como constante. Escrevendo y = t,x^-2 + tfrac1t,x, temos:
  • Derivada de t,x^-2 é t cdot (-2),x^-3 = -dfrac2tx^3.
  • Derivada de tfrac1t,x é tfrac1t, pois 1/t é constante em relação a x.
    Somando,
d yd x = -2tx^3 + 1t

Passo 3

Para achar dfracd yd t, tratamos x como constante. Escrevendo y = x^-2,t + x,t^-1, temos:
  • Derivada de x^-2,t é x^-2, pois x^-2 é constante em relação a t.
  • Derivada de x,t^-1 é x cdot (-1),t^-2 = -dfracxt^2.
    Somando,
d yd t = 1x^2 - xt^2

Resposta

d yd x = -2tx^3 + 1t, d yd t = 1x^2 - xt^2

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